5.2 矩阵的相似对角化

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1、5.2矩阵的相似对角化5.2.1.相似矩阵的基本概念5.2.2.矩阵的相似对角化5.2.3.可相似对角化矩阵的应用5.2.1相似矩阵的基本概念定义矩阵相似是一种等价关系.定理相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的迹、相同的行列式、相同的秩.证明A与B特征多项式相同,因而特征值相同.相似矩阵的性质：例因此，x=0，y=-2.解通过计算，可知－2是A的一个特征值(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.关于相似矩阵的一些其它性质：(2)若A与B相似，则kA与kB相似.与单位矩阵相似的n阶矩阵只

2、有单位阵I本身.与数量矩阵kI相似的n阶方阵只有数量阵kI本身.怎样方便地计算方阵A的幂次?容易得到问题：(1)什么样的矩阵可以与对角矩阵相似？(2)怎样求出对角矩阵？(3)怎样求可逆阵P？定理5.2.2矩阵的相似对角化证定理n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证(1)若A可相似对角化，则的主对角元是A的全部特征值.(2)若A可相似对角化，则由A的n个线性无关的特征向量p1,p2,…,pn可构造P=(p1,p2,…,pn)，使P1AP=.若不记特征值的排列顺序，则唯一，称为A的相似标准

3、形.显然P不唯一.注意：例设矩阵解定理矩阵A不同特征值的特征向量线性无关.证推论如果矩阵A的特征值都是单特征根，则A与对角矩阵相似.证(逆命题不一定成立)A可相似对角化.A不可相似对角化.定理定理n阶矩阵A与对角矩阵相似例下列矩阵能否与对角矩阵相似.A~diag(1,-1,3).解B~diag(0,1,1).例解设求x与y应满足的条件.解练习A能否对角化？若能对角例解基础解系所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义.1.由特征值、

4、特征向量反求矩阵例已知方阵A的特征值是相应的特征向量是求矩阵A.5.2.3可相似对角化矩阵的应用因为特征向量是3维向量，所以矩阵A是3阶方阵.因为A有3个不同的特征值，所以A可以对角化.解即存在可逆矩阵P,使得其中求得2.求方阵的幂3.判断矩阵是否相似解的特征值为令3阶矩阵B有3个不同的特征值，所以B可以对角化.例已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，设问矩阵B能否与对角阵相似？例设证例设A是3阶矩阵且I+A,3I－A,I－3A均不可逆.证明：证