线性代数矩阵习题课.ppt

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1、1、设,求An–2An-1(n≥2)。A=101020101解：An–2An-1=(A-2E)An-1=-10100010-1An-1=-10100010-1AAn-2=-10100010-1An-2101020101=0线性代数课（一）2、设n维向量α=(a,0,…,0,a)T(a<0),其中A的逆矩阵为B，求a的值。A=E-ααT,B=E-ααT/a,解：AB=E+(1-1/a-2a)ααT,AB=E1-1/a-2a=0a=-1/2(a=1舍去)线性代数习题课（一）3、设A与A+E均可逆，G=E-(A+E)-1,求G-1。G=E-(A+E)-1=A(A+E)-1G-1=(A

2、(A+E)-1)-1=(A+E)A-1=(A+E)(A+E)-1-(A+E)-1由A与A+E均可逆可知G也可逆，且线性代数习题课（一）4、设四阶矩阵A=(α,r2,r3,r4),B=(β,r2,r3,r4),

3、A+B

4、=

5、α+β，2r2,2r3,2r4

6、=8(

7、A

8、+

9、B

10、)=40其中α，β，r2,r3,r4均为4维向量，且已知

11、A

12、=4,

13、B

14、=1,求

15、A+B

16、。线性代数习题课（一）5、设且AX=A+2X,求矩阵X.线性代数习题课（一）解:因为AX=A+2X,所以(A–2E)X=A,而又线性代数习题课（一）所以线性代数习题课（一）6、设求An线性代数习题课（一）解：设A=λE+H

17、，Hn=0(n≧3),，H=011001000则H2=001000000其中故An=(λE+H)n=λnE+λn-1H+λn-2H2λnnλn-1n(n-1)λn-2/20λnnλn-100λn=线性代数习题课（一）7、设矩阵且r(A)=2，求λ和μ的值。线性代数习题课（一）-1123μ63λ-12解：Ar2↔r3r2-5r1r3-3r1-11208μ-5-40λ+3-4-4r3-r2-11208μ-5-40λ-5μ+10又r(A)=2,故λ=5,μ=-1线性代数习题课（一）8、多项式,x-10x223x-710431-71xf(x)=求f(x)中常数项的值。解：观察f(x)的结构

18、可知，常数项的值为d=-1×(-1)1+2×3×(-1)2+3×(2-3)=3线性代数习题课（一）9、设,求A2014。解：注意到A3=-E,A6=E，故A2014=(A6)335A3A=-A线性代数习题课（一）10、计算行列式11223-1-11221-11230D=解：55405100221-11230D=554510123=-2054010-923=-204-93==24线性代数习题课（一）11、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,(1)若

19、A

20、=0,则

21、A*

22、=0;证明:(2)

23、A*

24、=

25、A

26、n–1.线性代数习题课（一）证(1):当A=0时,则

27、A

28、的所有代数余子式从而A*=0,

29、故

30、A*

31、=0.当AO且

32、A

33、=0时,用反证法证明.假设

34、A*

35、0,则有A*(A*)–1=E,故A=AE=A[A*(A*)–1]=AA*(A*)–1=

36、A

37、E(A*)–1=O,这与A0矛盾,故当

38、A

39、=0时,

40、A*

41、=0.均为0,线性代数习题课（一）(2)当

42、A

43、=0时,则由(1)得

44、A*

45、=0,从而

46、A*

47、=

48、A

49、n–1成立.当

50、A

51、0时,由AA*=

52、A

53、E得,

54、A

55、

56、A*

57、=

58、AA*

59、=

60、

61、A

62、E

63、=

64、A

65、n,由

66、A

67、0得,

68、A*

69、=

70、A

71、n–1.线性代数习题课（一）12、设A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵A*也是证:A为可逆矩阵，则

72、A*

73、=

74、A

75、n-1≠0，故A*是可

76、逆的。又A*=

77、A

78、A-1，故(A-1)*=

79、A-1

80、(A-1)-1=

81、A-1

82、A显然A*(A-1)*=E，故(A*)=(A-1)*。可逆的，且(A*)=(A-1)*。线性代数习题课（一）13、设矩阵A,B满足A*BA=2BA-E,其中A=diag(1,-2,1),A*为A的伴随矩阵，求矩阵B解:

83、A

84、=-2,故A可逆，且A-1=diag(1,-1/2,1),又A*=

85、A

86、A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2)故2(E+A-1)BA=E,即B=(E+A-1)-1A-1/2故B=diag(-1,1/2,-1)又(E+A-1)-1=diag(-1,1/2,-1)线性代数习题课（

87、一）14、设n阶矩阵A、B、A+B可逆，试证明:A-1+B-1可逆,并求其逆矩阵。证明：∵A+B=A(A-1+B-1)B,∴

88、A+B

89、=

90、A

91、·

92、A-1+B-1

93、·

94、B

95、,又因为A、B、A+B可逆，故A、B、A+B的行列式不为零。故A-1+B-1的行列式不为零，即A-1+B-1为可逆矩阵。又A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A线性代数习题课（一）15、设行列式，11223-1-11221-11230D=解：11223-1