线性代数第二课时矩阵(习题课).ppt

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1、第二章矩阵习题课主要内容二.典型例题三.测验题1一.主要内容1.矩阵的定义简记为实矩阵:元素是实数复矩阵：元素是复数2一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵2.矩阵的基本运算矩阵相等:同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）加法满足3数乘满足数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为矩阵与矩阵相乘：设规定其中4乘法满足矩阵乘法不满足：交换律、消去律5A是n阶方阵，方阵的幂：方阵的多项式：并且（m,k为正整数）

2、方阵的行列式：满足:6转置矩阵:一些特殊的矩阵:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.满足：对称矩阵和反对称矩阵：幂等矩阵：为n阶方阵，且7伴随矩阵：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵83.逆矩阵定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.判定定理:n阶方阵A可逆且推论：设A、B为同阶方阵，若则A、B都可逆，且9满足规律：逆矩阵求法：（1）待定系数法（2）伴随矩阵法（

3、3）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．4.分块矩阵105.初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．11矩阵的等价：初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。记作三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵6.初等矩阵初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。127.初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等矩阵初等逆变换初等

4、逆矩阵定理：138.用初等变换法求矩阵的逆矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.定理：可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论1：推论2：如果对可逆矩阵和同阶单位矩阵作同样的初等行变换，那么当变成单位矩阵时，就变成。14即，159.解矩阵方程的初等变换法或者16矩阵的基本运算方阵的幂逆矩阵的求解、证明矩阵方程矩阵的分块运算二.典型例题1.矩阵的基本运算例1：设矩阵求与A可交换的所有矩阵。分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求解：设所求矩阵为由得其中a，b为实数17例2：设求的行列式。分析：直接计算困难，

5、可利用逆矩阵的定义先化简再计算解：18例3：设4阶方阵其中均为4维列向量，且已知行列式求行列式分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求解：192.方阵的幂例4：设求解：（递推法）所以，当时当时20例5：已知求与解：21又223.逆矩阵的求解、证明例6:求A的逆矩阵．解：23注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．244.矩阵方程例7:解矩阵方程其中均为可逆矩阵。注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，例如解

6、AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵方程解25例8:解：（用初等变换法）265.矩阵的分块运算例9：设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求解：设所求逆矩阵为则27例10:28解:（１）根据分块矩阵的乘法，得（２）由（１）可得29