线性代数第二章 矩阵ppt课件.ppt

《线性代数第二章 矩阵ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章矩阵第一节矩阵的基本概念一、矩阵的引入所谓具有m个方程n个未知数的线性方程组的一般形式是指(1)其中是n个未知数，m是方程的个数，（，）称为线性方程组的系数，称为线性方程组的常数项．由n个数组成的有序数组称为方程组（１）的解，是指当分别用替换后，（１）的每个等式都变成了恒等式．方程组（１）的解的全体组成一个集合，这个集合称为方程组（１）的解集合．求解方程组实质上就是找到方程组的所有解，即求出它的解集合．把具有相同解集合的两个方程组称为同解的方程组．定义1对线性方程组（１）进行如下三种变形，称为线性方程组的初等变换：１）用一个非零数k乘以某一个方程；２）用任意数

2、k乘以一个方程加到另外一个方程上；３）交换两个方程的位置．例1解线性方程组我们就可以只考虑方程组的系数和常数项组成的一个矩形数阵（后面我们称这种矩形数阵为矩阵），对于方程组（１），其对应的矩形数阵为例2某食品厂某月向m个超市配送n种产品，如果将送往第i个超市的第j种产品的数量记为，那么配送方案就可以用如下的矩形数阵表示：例3设A,B为进行某项决策的双方，并且设A方有m种可供选择的策略，不妨记为，B方有n种可供选择的策略，记为．如果将A方选择策略且B方选择策略时，A方所获得的收益记为，那么A方在各种情况下的收益可以表示成如下的矩形数阵：二、矩阵的定义定义2将m×n个数

3、（；）排成的m行n列的的矩形数阵（为了标明这是一个整体，将其括以圆括号）（2）称为一个m行n列矩阵，或简称为m×n矩阵，或直接简称为矩阵．当矩阵的元素均为实数时，称其为实矩阵；当元素均为复数时，称这个矩阵为复矩阵．本书中，如果没有特别说明，矩阵都是指实矩阵，并且将实数域上的所有m×n矩阵的集合记为．当一个矩阵的行数和列数相等，即m=n时，称这个n×n矩阵为n阶方阵，或n阶矩阵．将实数域上的所有阶方阵的集合记为　　．本课程中，通常用大写黑体英文字母或者表示矩阵．几种特殊形式的矩阵所有元素均为0的m×n矩阵称为零矩阵，记为．在不发生混淆情况下，也可以简记为．将1行n列的

4、矩阵，即只有一行的矩阵称为行矩阵，或行向量．将m行1列的矩阵，即只有一列的矩阵　　称为列矩阵，或列向量．通常用黑体希腊字母表示列矩阵（向量），而用表示行矩阵（向量）．对于一个n阶方阵将所在的那条对角线称为矩阵A的主对角线，而另外一条对角线称为矩阵A的副对角线，即所在的对角线．将主对角线以下都是0的n阶方阵，称为n阶上三角矩阵，即当时，，也就是形如的矩阵．将主对角线以上都是0的n阶方阵，称为n阶下三角矩阵，即当时，，也就是形如的矩阵．将除了主对角线以外全为0的n阶方阵，称为n阶对角矩阵，即形如的矩阵．通常将这个对角矩阵简记为或特别地，当对角矩阵的对角线上的元素都相等，

5、则称这个矩阵为n阶标量矩阵；更特别地，对角矩阵的对角线上的元素都等于1，则称这个矩阵为n阶单位矩阵，简记为．在不发生混淆的情况下，我们有时也将单位矩阵简记为E，即第二节矩阵的运算一、矩阵的基本运算定义3设两个矩阵分别为,．则只有当　　　　　，且时，称矩阵A与B相等，简记为A=B．即对于两个矩阵，只有当它们的行数和列数均相同（形状相同），且对应位置的元素也均相等时，才称这个两个矩阵相等．1．矩阵的加法定义4设两个m×n矩阵分别为则矩阵A与B的和，简记为A+B，规定为矩阵满足如下运算规律：提示：只有形状相同（具有相同的行数和列数）的两个矩阵才能够相加，1）结合律：2）交

6、换律：3）用矩阵的简记符号表示，即为其中A,B,C均为m×n矩阵，O为m×n零矩阵．定义5设矩阵则矩阵Ａ的负矩阵，简记为–A，规定为由此，可以定义矩阵的减法，规定2．数与矩阵的乘法定义6设矩阵则数k与矩阵A的乘积，简记成kA或Ak，规定为有时，也将数与矩阵的乘积简称为矩阵的数乘．数与矩阵的乘积满足如下运算规律：1）分配律：2）结合律：其中A,B均为m×n矩阵，k,l为数．有了数与矩阵相乘的定义以后，有通常将矩阵的加法和矩阵的数乘这两种运算统称为矩阵的线性运算．3．矩阵的乘法例4设；及是三组变量，与之间有如下关系且而与之间有下面的关系①②将②式代入①式，得到与的关系同

7、样可以得到如果假设则有⑥③④⑤如果将这些变量之间的关系用矩阵表示：与之间的关系为而与之间的关系为那么与的关系可由式决定．我们将矩阵Ｃ称为矩阵A与B的乘积，简记为AB．⑥定义7设是一个m×n矩阵，是一个n×p矩阵，即规定矩阵A与B矩阵的乘积是一个m×p矩阵其中并且将矩阵A与B的乘Ｃ记为．例5设求Ａ与B的乘积AB．例6设求Ａ与B的乘积AB，B与Ａ的乘积BA．例7设求Ａ与B的乘积AB，B与Ａ的乘积BA．矩阵的乘法不适合交换律，即AB不一定等于BA；两个不为零的矩阵相乘可以是零矩阵，也就是由AB=O，不能推出A=O或B=O．在矩阵乘法中不成立，即由AB=AC，不一定能够