线性代数第二章 矩阵及其运算ppt课件.ppt

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1、组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素,aij称为矩阵A的第i行第j列元素,矩阵A也简记为(aij)或(aij)m×n或Am×n。元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素为复数的矩阵称为复矩阵，本课除特殊说明外都讨论实矩阵。下面介绍矩阵的基本关系及运算一、相等设有两个矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)s×t,如果m=s,n=t,aij=bij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n),则称矩阵A与B相等,记为A=B.两个矩阵相等,是指两个矩阵完全一样,即阶数相同而且对应的元素完全相等.二、加法设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,则矩阵C=(cij)m×n(其中cij=aij+bi

2、j,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)称为A与B的和记作A+B.即注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加.例1设则元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为0.注意:阶数不同的零矩阵是不同的.设A=(aij)m×n,称矩阵(aij)m×n为A的负矩阵,记A.矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C是同阶矩阵):(ⅰ)交换律：A+B=B+A定义两个矩阵的减法为:BA=B+(A).(ⅱ)结合律:(A+B)+C=A+(B+C)(ⅲ)A+0=A(ⅳ)A+(A)=0三、数乘法设k为数,A=(aij)m×n为矩阵,则矩阵(kaij)m×n称为k与A的乘积记作kA或Ak.即数乘矩阵满足下列运算规律(

3、设A、B是同阶矩阵)（ⅰ）1A=A（ⅲ）数的分配律：(k+l)A=kA+lA（ⅳ）矩阵的分配律：k(A+B)=kA+kB.（ⅱ）结合律：(kl)A=k(lA)四、乘法设矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)n×p,则矩阵C=(cij)m×p(其中cij=aikbkj,i=1,2,…,m,j=1,2,…,p)称为A与B的乘积,记作C=AB.即其中注意:矩阵A,B能够乘积的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数,且乘积矩阵与A行数相同,与B列数相同.解例2设求AB.注意:这里BA无意义.例3设矩阵解可见，若C=AB,则乘积矩阵C的第i行第j列元素cij就是A的第i行和B的第j列的乘积。求AB

4、和BA.例4求矩阵求AB和BA。解由例题可见，即使AB与BA都是2阶方阵,但它们还是可以不相等。所以，在一般情况下AB≠BA。另外，虽然A≠O，B≠O，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出A和B中有一个是零矩阵的结论。而若A≠O，由AX=AY也不能得到X=Y的结论。矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)：（ⅰ）结合律：(AB)C=A(BC);（ⅲ）数的结合律：k(AB)=(kA)B=A(kB);（ⅱ）分配律：A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;五矩阵的转置设矩阵A=(aij)m×n,则矩阵B=(bij)n×m(其中bij=aji,i=1,2,…,n,j=1,2

5、,…,m)称为A的转置,记作B=AT,或A,即矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)：（ⅰ）(AT)T=A；（ⅱ）(A+B)T=AT+BT；（ⅲ）(kA)T=kAT；（ⅳ）(AB)T=BTAT；行数和列数相等的矩阵称为方阵.nn阶矩阵称为n阶方阵.和行列式相同,主对角线以外的元素全是零的方阵也称为对角矩阵.即对角矩阵也常记为:A=diag(a11,a22,…,ann)对角线元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵,记为E(或I).n阶单位矩阵也记为En(或In),即单位矩阵具有性质：AmnEn=Amn,EmAmn=Amnn阶单位矩阵也可表示为:En=(ij)n,其中A0=E

6、,A1=A，A2=A1A1，…,Ak+1=AkA1矩阵的幂满足以下运算规律(设A与B是同阶方阵,k和l是非负整数)设A为方阵,定义A的幂为:（ⅲ）AB=BA时有:(AB)k=AkBk（ⅱ）(Ak)l=Akl（ⅰ）AkAl=Ak+l注意:(AB)k=AkBk时,不一定有AB=BA.如有(AB)k=AkBk(k=0,1,2,…),但ABBA.方阵的行列式满足以下运算规律(设A与B是n阶方阵,k是常数)（ⅲ）det(AB)=detA·detB（ⅱ）det(kA)=kndetA（ⅰ）det(AT)=detA设A=(aij)n是n阶方阵,则n阶行列式

7、aij

8、n称为A的行列式,记为detA(或

9、

10、A

11、),即detA=

12、A

13、=

14、aij

15、n.称满足条件A=AT的矩阵A为对称矩阵.显然对称矩阵是方阵.设A=(aij)n,则A是对称矩阵aij=aji,即对称矩阵的元素以主对角线为轴对称。§2逆矩阵数的除法运算是乘法运算的逆运算,且有:1a=a1=aba=ba-1,aa-1=a-1a=1对矩阵的乘法我们也有:AmnEn=Amn,EmAmn=Amn所以,当A是n阶方阵时我们有:AnEn=EnAn=An可见,对n阶方