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《线性代数-第二章-矩阵及其运算课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章矩阵及其运算第一节矩阵引言矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。矩阵的运算是线性代数的基本内容。1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱——毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维
2、尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算和可逆阵的概念，最后介绍简化矩阵运算的技巧——矩阵分块法。1.线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.这就是矩阵四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填
3、上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.二、矩阵的定义由个数排成的行列的数表称为矩阵.简称矩阵.记作1、定义简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.广义主对角线广义副对角线例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.例如是一个3阶复方阵.注：几种特殊矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作（1）方阵（2）行矩阵和列矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.形如的方阵,不全为0（3）对角阵记作元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零
4、矩阵是不相等的.例如下三角阵上三角阵三角(方)阵（4）零矩阵（5）三角阵称为单位矩阵（或单位阵）.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为12、矩阵相等例如为同型矩阵.同型（6）单位阵（1）同型矩阵两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作矩阵与行列式一样吗？不一样！矩阵是一个数表,而行列式是一个实数！看一些矩阵的应用例子（2）矩阵相等例1间的关系式线性变换.系数矩阵可利用矩阵理论研究线性变换问题一一对应注：一些常见的线性变换与矩阵之间存在着的一一对应关系.若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.看几个具体的线性变换的例子（1）恒等变换对应这是一个以原点为
5、中心旋转角的旋转变换.对角(方)阵（2）旋转变换（3）例2设解三、小结(1)矩阵的概念(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.第二节矩阵的运算1.加、减法设矩阵与,定义显然A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+O=O+A=AA–A=O负矩阵记作–A,即的负矩阵为同型阵一、线性运算!!!即：说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如（1）、定义2.数乘简称为数乘.（2）、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）（4）二、矩阵与矩阵的乘法与举例=即有例１设例2并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，
6、那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中（１）、定义故解A与B满足什么条件时能够相乘？注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.你记住了吗？例设则呵呵，发现两个现象！显然这些正是矩阵与数的不同矩阵乘法不满足交换律有非零的零因子但也有例外，比如设则有但是这又是矩阵与数的不同请记住：1.矩阵乘法不满足交换律；2.不满足消去律；3.有非零的零因子。又如不满足消去律乘法满足的运算规律?!!!（２）、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且注意矩阵不满足交换律，即：成立的条件?AB=BA!!!例3计算下列乘积：解解=(）解例4由
7、此归纳出用数学归纳法证明当时，显然成立.假设时成立，则时，所以对于任意的都有注：书本36页——37页还讲了交换阵和矩阵乘法的一个实际例子及用乘法来表示线性方程组的便利性。线性变换把变量X变为Y其系数矩阵A与B作相应乘法（2）（1）（1）定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例１、转置矩阵三、矩阵的其它运算（2）转置矩阵的运算性质例5已知解法1解法22、方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质定义若方阵A
