线性代数第二章矩阵及其运算课件.ppt

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1、第2章矩阵及其运算矩阵的概念矩阵的运算可逆矩阵矩阵的分块矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的秩一、矩阵概念第2.1节矩阵的概念(Matrix)矩阵一般用大写字母A、B，…等表示.返回*注①实(复)矩阵:元素均为实(复)数的矩阵.②方阵:m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.③行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵.也称为行(列)向量.m=1n=1④矩阵同型:两个矩阵的行对应相同,列也对应相同.⑤矩阵相等:两个矩阵既是同型的,对应元素又相等.⑥零矩阵O:元素都是零的矩阵.(不同型的零矩阵是不同的)练习1从定义可以看出,确定一个矩阵的两个要素是维及元素.记为A=B.二、矩阵

2、问题的例子○○○○○例1（通路矩阵）每条线上的数字表示连接该两城市的不同通路总数.又该图提供的通路信息,可用矩阵形式表示(称之为通路矩阵),以便存储、计算与利用这些信息.41322例2（价格矩阵）四种食品在三家商店中，单位量的售价（以某货币单位计）可用以下矩阵给出：这里的行表示商店，而列表示食品，比如第2列就是第2种食品，其3个分量表示该食品在3家商店中的售价.*例3(线性变换的系数矩阵)称此矩阵为线性变换的系数矩阵.线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.练习2其中的数字1与0,指相应城市间的通路数.第2.2节矩阵的运算1.矩阵的相等定义2.2.1设有两个矩阵若则

3、称矩阵A和B相等.记作A=B注意：两个矩阵相等必须满足1）行列对应相等，2）元素对应相等.2.矩阵的加法定义2.2.2设有两个矩阵矩阵称为矩阵A和B的和.记作返回设矩阵记-A称为A的负矩阵，显然有A+(-A)=O.由此规定矩阵的减法，即矩阵A与B的差为应该注意，只有当两个矩阵行数相等，列数相等时，这两个矩阵才能进行加法运算.*①②矩阵的加法满足下列运算规律：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（3）A+O=O+A=A（4）A-A=A+（-A）=O其中A、B、C和零矩阵O是行数相等，列数相等的矩阵.3.数与矩阵的乘法定义2.2.3

4、数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak，规定为数乘矩阵满足下列运算规律：(1)k(A+B)=kA+kB(2)(k+h)A=kA+hB(3)k(hA)=(kh)A(4)1A=A其中A、B为矩阵；k、h为数.设求练习3练习4如果矩阵X满足X-2A=B-X,其中求X.答案返回4.矩阵的乘法定义2.2.4设矩阵矩阵A与B的乘积是一个矩阵其中记作C=AB.按此定义，一个矩阵与一个矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数：*①这表明乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij就是A的第i行与B的第j列的乘积.必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个

5、矩阵才能相乘.②返回由例可知，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。(1)(AB)C=A(BC);(2)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)k(AB)=(kA)B=A(kB),(其中k为数).或简写成*①矩阵的乘法不满足交换律，当AB=BA时,称A,B可交换.②矩阵的乘法满足下列运算规律:（假设运算都是可行的）3.n阶方阵的幂定义2.2.5设A是一个n阶方阵，k为正整数,称为A的k次幂.这就是说，Ak就是k个A连乘。显然只有方阵的幂才有意义.规定A0=E.由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算

6、律：AkAl=Ak+1(Ak)l=Akl其中k、l为正整数.返回又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶方阵A与B，(AB)k一般不等于AkBk.如果Ak=O，也不一定有A=O.例如取而*①②练习7练习8练习94.矩阵的转置1.定义把矩阵的行换成同序数的列得矩阵，称为A的转置(transpose),记作AT或A’.到一个2.矩阵的转置满足以下运算规律（假设运算都是可行的）(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(kA)T=kAT(4)(AB)T=BTAT(4)的证明：设记由矩阵的乘法定义，有而BT的第i行为AT的第j列为因此所以即D=CT，

7、亦即BTAT=(AB)T.对于多个矩阵相乘，有返回综合练习第2.3节n阶矩阵及逆矩阵1.n阶矩阵的行列式定义2.3.1由n阶矩阵A的元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为矩阵A的行列式(determinant).记作或detA.应该注意:矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数.返回n阶矩阵的行列式具有以下性质(A、B为n阶矩阵，k为数)：由(3)可知，n阶矩阵A、B，一般AB不等于BA，但总有*①②例1伴随阵(adjugatematrix)常记为adjA,adjA=证明过程中用

8、到了行列式