线性代数--第二章 矩阵及其运算课件.ppt

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1、第二章矩阵矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵的基本运算、逆矩阵、分块矩阵以及初等变换和初等矩阵。重点是逆矩阵的计算和矩阵方程的求解以及初等变换和初等矩阵之间的关系。§1矩阵的概念及其基本运算定义2.1由m×n个数aij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成的m行n列的数表称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为:组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素,aij称为矩阵A的第i行第j列元素,矩阵A也简记为(aij)或(aij)m×n或Am×n。元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素为复数的矩阵称为复矩阵，本

2、课除特殊说明外都讨论实矩阵。下面介绍矩阵的基本关系及运算一、相等设有两个矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)s×t,如果m=s,n=t,aij=bij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n),则称矩阵A与B相等,记为A=B.两个矩阵相等,是指两个矩阵完全一样,即阶数相同而且对应的元素完全相等.二、加法设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,则矩阵C=(cij)m×n(其中cij=aij+bij,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)称为A与B的和记作A+B.即注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加.例1设则元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为0.注意:阶数不同

3、的零矩阵是不同的.设A=(aij)m×n,称矩阵(aij)m×n为A的负矩阵,记A.矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C是同阶矩阵):(ⅰ)交换律：A+B=B+A定义两个矩阵的减法为:BA=B+(A).(ⅱ)结合律:(A+B)+C=A+(B+C)(ⅲ)A+0=A(ⅳ)A+(A)=0三、数乘法设k为数,A=(aij)m×n为矩阵,则矩阵(kaij)m×n称为k与A的乘积记作kA或Ak.即数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是同阶矩阵)（ⅰ）1A=A（ⅲ）数的分配律：(k+l)A=kA+lA（ⅳ）矩阵的分配律：k(A+B)=kA+kB.（ⅱ）结合律：(kl)A=

4、k(lA)四、乘法设矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)n×p,则矩阵C=(cij)m×p(其中cij=aikbkj,i=1,2,…,m,j=1,2,…,p)称为A与B的乘积,记作C=AB.即其中注意:矩阵A,B能够乘积的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数,且乘积矩阵与A行数相同,与B列数相同.解例2设求AB.注意:这里BA无意义.例3设矩阵解可见，若C=AB,则乘积矩阵C的第i行第j列元素cij就是A的第i行和B的第j列的乘积。求AB和BA.例4求矩阵求AB和BA。解由例题可见，即使AB与BA都是2阶方阵,但它们还是可以不相等。所以，在一般情况下AB≠BA。另

5、外，虽然A≠O，B≠O，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出A和B中有一个是零矩阵的结论。而若A≠O，由AX=AY也不能得到X=Y的结论。矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)：（ⅰ）结合律：(AB)C=A(BC);（ⅲ）数的结合律：k(AB)=(kA)B=A(kB);（ⅱ）分配律：A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;五矩阵的转置设矩阵A=(aij)m×n,则矩阵B=(bij)n×m(其中bij=aji,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)称为A的转置,记作B=AT,或A,即矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)：（ⅰ）(AT

6、)T=A；（ⅱ）(A+B)T=AT+BT；（ⅲ）(kA)T=kAT；（ⅳ）(AB)T=BTAT；行数和列数相等的矩阵称为方阵.nn阶矩阵称为n阶方阵.和行列式相同,主对角线以外的元素全是零的方阵也称为对角矩阵.即对角矩阵也常记为:A=diag(a11,a22,…,ann)对角线元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵,记为E(或I).n阶单位矩阵也记为En(或In),即单位矩阵具有性质：AmnEn=Amn,EmAmn=Amnn阶单位矩阵也可表示为:En=(ij)n,其中A0=E,A1=A，A2=A1A1，…,Ak+1=AkA1矩阵的幂满足以下运算规律(设A与B是同

7、阶方阵,k和l是非负整数)设A为方阵,定义A的幂为:（ⅲ）AB=BA时有:(AB)k=AkBk（ⅱ）(Ak)l=Akl（ⅰ）AkAl=Ak+l注意:(AB)k=AkBk时,不一定有AB=BA.如有(AB)k=AkBk(k=0,1,2,…),但ABBA.方阵的行列式满足以下运算规律(设A与B是n阶方阵,k是常数)（ⅲ）det(AB)=detA·detB（ⅱ）det(kA)=kndetA（ⅰ）det(AT)=detA设A=(aij)n是n阶方阵,则n阶行列式

8、aij

9、n称为A的行列式,记为detA(或

10、A

11、),即detA=

12、A

13、=

14、aij

15、n.称满足条