线性代数04-矩阵及其运算课件.ppt

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1、第二章矩阵及其运算§1矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可

2、用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．一二三1234由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵(matrix)．这个数表是一个整体，用括号将数表括起来，记作二、矩阵的定义简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.其中数称为矩阵的第行第列的元素.行数不一定等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素本质上就是一个数矩阵行列式§2矩阵的运算例某工厂生产四种货物，它在上半年

3、和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij表示上半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．其中cij表示工厂下半年向第i家商店发送第j种货物的数量．解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法定义：设有两个m×n矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规则设A、B、C是同型矩阵设矩阵A=(aij)，记，称为矩阵A的负矩阵．显然例如15设工厂向某家商店发送四种货物各l

4、件，试求：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．解：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．二、数与矩阵的乘法(矩阵的数乘)定义：数l与矩阵A的乘积记作lA或Al，规定为一个数乘以矩阵就是用该数乘以矩阵的所有的元素例如20结合律分配律备注数乘矩阵的运算规则设A、B是同型矩阵，l,m是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.例设求解知识点比较例（续）某工厂生产四

5、种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：空调冰箱29``彩电25``彩电甲商店30205020乙商店07100丙商店50405050这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：售价重量空调3040冰箱163029``彩电223025``彩电1820试求：工厂向三家商店所发货物的总售价及总重量分别是多少？甲商店乙商店丙商店售价重量26三、矩阵的乘法定义：设，，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．说明：的元就是的第行元素与的第列元素对应乘积之和.例：设则特别注意:乘积不可交换可乘的前提是的列数等于的行数，否则不

6、可乘.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.292）和均有意义，但AB为1阶矩阵为3阶矩阵，不相等；乘积一般不可以交换，1）AB为矩阵，但BA无意义；例如若则称矩阵乘积可交换.例矩阵却有AB=0，从而不能由AB=0得出或的结论.矩阵乘法不满足交换律，所以矩阵相乘时必须注意顺序矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律（其中l是数）(4)左分配律右分配律定义若A是n阶方阵，定义性质四、矩阵的幂特别注意若A与B可交换(即AB=BA),则以上不等式将变成等式.五、矩阵的转置定义：把

7、矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵(Transpose)，记作AT.例转置矩阵的运算性质例：已知解法1解法2§3几种特殊的矩阵同型矩阵与矩阵相等的概念两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记作A=B.注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O.例如：一、特殊的矩阵形如的方阵称为对角阵．特别的，方阵

8、称为单位阵．记作记作．对于单位矩阵，有5.数量矩阵(纯量矩阵)：不在对角线上的元素都是0，对角线上的元素相同