中南大学线性代数-1.1-矩阵及其运算课件.ppt

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1、第一节矩阵及其运算一、矩阵的定义二、矩阵的运算第一章三、矩阵的分块四、分块矩阵的运算规则一、矩阵的定义由个数排成的行列的数表称为矩阵.简称矩阵.简记为元素都是实数的矩阵称为实矩阵元素都是复数的矩阵称为复矩阵例如是一个实矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.几种特殊矩阵行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作例如是一个3阶方阵.主对角线次（副）对角线特殊地，主对角线以下全为0的方阵称为上三角形矩阵主对角线以上全为0的方阵称为下三角形矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,不

2、全为0记作(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).(4)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.全为1（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相同,列数相同时,称为同型矩阵.例设解矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与反对称阵共轭矩阵二、矩阵的运算１、定义（一）矩阵的加法设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，定义为即对应元素相加.说明只有当两个矩阵是同

3、型矩阵时，才能进行加法运算.例2、矩阵加法的运算规律1、定义（二）数与矩阵相乘此运算称为矩阵的数量乘积，简称数乘2、数乘运算的运算规律矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）１、定义并把此乘积记作（三）矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.例１设例2求AB.故解２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且注意矩阵一般不满足交换律，即：例设则说明但也有例

4、外，例如则有称为纯量矩阵（或数量矩阵）矩阵多项式解例4由此归纳出用数学归纳法证明当时，显然成立.假设时成立，则时，所以对于任意的都有定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作例１、转置矩阵(transposematrix)（四）矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质例5已知解法1解法22、对称(矩)阵与反对称(矩)阵定义设为阶方阵，如果满足，即那么称为对称(矩)阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等说明例6证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命

5、题得证.3、共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记　　　　，　称为的共轭矩阵.定义运算性质（设为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:三、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.一个矩阵可以有多种不同的分块方法.具体做法：将矩阵用若干条纵线和横线分成若干小块，每一小块也可以看成一个矩阵（称为的子矩阵），以子矩阵为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例四、分块矩阵的运算规则例1设解则又于是例2其中其中矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与反对称

6、阵共轭矩阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.五、小结(1)加法(2)数乘(3)乘法分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4)转置(5)分块对角阵（准对角阵）思考题成立的充要条件是什么?故成立的充要条件为解