线性代数学习 矩阵及其运算课件.ppt

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1、第二章矩阵1第一节矩阵及其运算一、矩阵的概念由个数排成的行列的数表称为矩阵.2为了标明矩阵的行数m和列数n,可用Amn表示,一般情形下,用大写黑体字母A,B,C等表示矩阵.或记作3例如是一个矩阵,是一个矩阵。是一个矩阵,是一个矩阵。4如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于n,则称A为n阶矩阵(或称n阶方阵).主对角线副对角线对于n阶方阵A,对应一个行列式,记作

2、A

3、或detA.注意矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式,一个数字行列式表示一个数值,而矩阵是一个数表,它的行数和列数可以不同.对于方阵A,虽有行列式

4、A

5、,但A和

6、A

7、

8、是不同的概念,不能混为一谈。5同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例如为同型矩阵.2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作6例设解7几种特殊矩阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意:不同阶数的零矩阵是不相等的.例如(一)零矩阵8(二)上三角形矩阵和下三角形矩阵即形如的方阵，称为上三角形矩阵，类似地，下三角形矩阵，9(三)对角矩阵即形如的方阵,称为对角矩阵，可记作diagonalmatrix10(四)数量矩阵，单位矩阵即形如的方阵，称为数量矩阵，当对角矩阵的主对角上

9、的元都相同时，11(五)行矩阵与列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).12二、矩阵的运算1、矩阵的加法设有两个矩阵，那末矩阵与的和记作，规定为13说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如14矩阵加法的运算规律：显然有定义矩阵的减法：152、矩阵的数量乘法16数乘矩阵的运算规律：加法和数乘合称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）17求2A-B.例1已知解18例2已知且A+2X=B,求X.解19并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中3、

10、矩阵的乘法2021例322例423例624注意只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如，有意义，没意义。而25矩阵乘法的运算规律：(其中k为数);注意：交换律不成立。首先，AB有意义，不见得BA就有意义；例如，26例如，27例如，结论：矩阵乘法交换律不成立，一般若称A、B可交换，(前提是A、B为同阶方阵).但仍不一定有28例7试求出所有与A可交换的矩阵。解则29从前例还可看出，矩阵乘法不满足消去律：或或例如，左消去律同理没有右消去律：30定义设A为n阶方阵，则A的方幂定义为再规定规律：其中k，l为任意非负整数。

11、注意由于没有交换律，一般因此，一般31例8设例9解32解33A是一个n阶方阵，定义矩阵多项式为是一个多项式，例如，34下面将线性方程组写成矩阵形式记系数矩阵则上述方程组可写为354、矩阵的转置定义把矩阵A的行列互换得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作.例1036转置矩阵的运算性质：(4)可推广到多个矩阵:证略.37设解法1例1138解法2设例1139对称矩阵与反对称矩阵定义对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明设A为n阶方阵，如果满足，即那末A称为对称阵.40定义反对称阵的对角元全为零.说明那末A称为反对称阵.设A为n阶方阵，如

12、果满足，即对称矩阵与反对称矩阵41例12若A、B为同阶对称阵(反对称阵),则仍为对称阵(反对称阵).设B是一个mn矩阵,则BTB和BBT都是对称矩阵.因为BTB是n阶方阵,且(BTB)T同理,BBT是m阶对称矩阵.=BT(BT)T=BTB.A、B为同阶对称阵，AB未必对称；只有A、B可交换，AB才对称。(证明留作练习)设A是n阶反对称矩阵,B是n阶对称矩阵,则AB+BA是反对称矩阵.练习(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(-A)+(-A)B=-(AB+BA).证425、方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构

13、成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质(3)推广:特别：43练习：P69习题二44补充题1.2.4.3.，求3A-2B.已知45求3A-2B.1.已知解4647解设与A可交换，2.48所以493.证已知即A与BC可交换;即A与B+C可交换.于是504.解51