线性代数第二章矩阵ppt课件.ppt

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1、2.1节矩阵定义：有mn个数排成如下的m行、n列的矩形阵列：称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。－－－矩阵的第行，第列的元素矩阵常用大写字母来表示。上面的矩阵可简记为：2.1节矩阵当矩阵A的行数和列数相等（m＝n）时，称矩阵为n阶方阵。对于方阵A，可以按元素的原来位置定义行列式，称为方阵A的行列式，记之为：

2、A

3、例如：！！！注意区分矩阵和行列式2.1节矩阵矩阵应用举例：1.考试成绩2.计算机图像3.线性变换4.线性方程组（见下页）………2.1节矩阵矩阵举例：系数矩阵：常数项矩阵：增广矩阵：2.1节矩阵几种特殊的

4、矩阵:若矩阵的所有元素都为零，称矩阵为零矩阵，记之为若n阶方阵除了主对角线上的元素外其余元素都为零，则称之为n阶对角阵，记之为：若n阶对角阵的对角线上的元素都等于1，则称之为n阶单位阵，记之为：若n阶方阵主对角线下方的元素都为零，则称之为n阶上三角阵；若n阶方阵主对角线上方的元素都为零，则称之为n阶下三角阵2.1节矩阵几种特殊的矩阵:若矩阵的行数为1，称矩阵为行矩阵（行向量）若矩阵的列数为1，称矩阵为列矩阵（列向量）若矩阵的行数、列数均为1，称矩阵只有一个元素，这时将矩阵看成是数，即2.2节矩阵的运算一矩阵的

5、加法与减法设，，则如下定义加法运算：例如：设　　　　　　　，称　　　　　　　　　　　　　为Ａ的负矩阵。注意：两个矩阵必须行数和列数都相等，才能作加法运算2.2节矩阵的运算设，，则如下定义减法运算：例如：注意：两个矩阵必须行数和列数都相等，才能作减法运算矩阵加法满足如下的运算律：P332.2节矩阵的运算二矩阵的数乘设，则如下定义数乘运算：例如：矩阵数乘运算满足如下运算律:P332.2节矩阵的运算例1：2.2节矩阵的运算三矩阵的乘法设，，则如下定义乘法运算：例2：矩阵相乘的前提：左边矩阵的列数必须和右边矩阵的行数

6、都相等但是，BA没意义乘法运算核心：左行乘右列2.2节矩阵的运算例3：2.2节矩阵的运算矩阵的乘法满足如下运算律（1）结合律（AB）C=A（BC）（2）分配律（A+B）C=AC+BCC（A+B）=CA+CB（3）k(AB)=(kA)B=A(KB)k是一个数（4）EA=AE=A注意：（1）矩阵的乘法不满足交换律，即AB=BA不一定成立（2）若AB=0，不能推出：A=0或B=0（3）若AB=AC且A不是零矩阵，不能推出：B=C,即矩阵的乘法不满足消去律。2.2节矩阵的运算四矩阵的乘方（幂）设，则如下定义幂运算：注

7、意：（１）（２）2.2节矩阵的运算例5　　Ｐ39　例７例6　　Ｐ40　例８五　矩阵的转置A’（　）2.2节矩阵的运算六方阵A的行列式

8、A

9、方阵求行列式的运算满足如下运算律:（设A,B都为n阶方阵)例7设三阶矩阵A的行列式

10、A

11、=3，则

12、-2A

13、=2.3节逆矩阵定义：设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使得：AB=BA=E则称B为A的逆矩阵。这时称A为可逆矩阵。不是所有的矩阵都存在逆矩阵。若矩阵有逆矩阵，也称矩阵为非奇异矩阵；若无逆矩阵，则称为奇异矩阵。定理1：设A是一个n阶方阵，若A存在逆矩阵，则这个逆矩

14、阵必定唯一。由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，故用记号A–1来表示A的逆矩阵2.3节逆矩阵可逆矩阵求逆矩阵的运算满足如下运算律:(A、B都可逆）2.3节逆矩阵定义：设A是一个n阶方阵，则如下矩阵称为A的伴随矩阵。其中是A中元素的代数余子式。2.3节逆矩阵定理2（可逆的充要条件）：n阶方阵A可逆A的行列式

15、A

16、≠0。且有：2.3节逆矩阵例1判断矩阵A是否可逆。如可逆，求其逆矩阵。解：2.3节逆矩阵例2求解方程组解：2.3节逆矩阵例3设求矩阵X使满足：AXB=C解：由于A–1，B–1存在，则用A–1左乘上式，用B–

17、1右乘上式，有：矩阵方程2.3节逆矩阵例4设解：由于P–1存在，则用P–1右乘上式，得到一般性结论：Ｐ462.3节逆矩阵定理3：若：AB=E（或BA=E），则B=A–1例5　设方阵Ａ满足A2－A－2E=0.证明A及A+2E都可逆并求逆矩阵。2.3节逆矩阵伴随矩阵的性质例6设矩阵A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，计算：（1）AA*（2）（A*）－1（3）

18、A*

19、解：（1）（2）（3）方阵行列式的性质2.4节　　矩阵分块法定义：　　子块　　　分块矩阵运算：加法、数乘、乘法、转置、求行列式、求逆矩阵本章知识点

20、矩阵的定义几种特殊的矩阵矩阵的六种运算的定义及其运算律矩阵分块法