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《线性代数 第二章 矩阵内容与习题课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、由定义知，确定一个矩阵的两个要素是维数m×n及元素,.m表示行数，n表示列数.例1解1.几种常用的特殊方阵（1）对角阵（2）数量阵（3）单位阵和零阵（4）上（下）三角阵定义所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为对角矩阵.是一个四阶对角矩阵.当对角线元素都相等时有：(1)对角矩阵定义如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等，则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵.例如(2)数量矩阵定义如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都是1，则称此矩阵为n阶单位矩阵.单位矩阵在方阵运算中起到数字“1”的作用.(3)单位矩阵与零阵当a=0时,n阶零阵在方阵运算中起到数字“0”的作用.定义如果n阶矩
2、阵主对角线下方的元素都等于零，则称此矩阵为上三角矩阵.如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，则称此矩阵为下三角矩阵.A为n阶上三角矩阵；B为n阶下三角矩阵.(4)三角形矩阵定义设有两个m×n矩阵则称矩阵A和B相等.记作A=B矩阵相等必须满足:行列对应相等且元素对应相等.2.矩阵相等称为矩阵A与B的和.记作定义设有两个m×n矩阵注：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.3.运算（1）矩阵加法称为A的负矩阵.矩阵的减法为矩阵减法(i)A+B=B+A(ii)(A+B)+C=A+(B+C)(iii)A+O=O+A=A(iv)A-A=A+(-A)=O其中A、B、C和零矩阵O是同型矩阵
3、.矩阵的加法满足下列运算规律例2解（2）数乘矩阵定义数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak，规定为运算规律：(i)k(A+B)=kA+kB(ii)(k+h)A=kA+hB(iii)k(hA)=(kh)A(iv)1A=A其中A、B为m╳n矩阵；k、h为数.例3解解例4矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵其中（3）.矩阵乘法定义注：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.记作C=AB.注：按此定义，一个1×s矩阵与一个s×1矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数.注乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和
4、.例5解注一般地，矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例6解例7设矩阵解显然AO=O；注与数的乘法不同,两个非零矩阵的乘积可能是零阵，反过来，如果两个矩阵的乘积是零阵，不能断定A或B一定是零阵.计算AO，AB.(2)难点(i)(AB)C=A(BC);(ii)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(iii)k(AB)=(kA)B=A(kB),(其中k为数).矩阵的乘法不满足交换律，即当AB=BA时,称A,B可交换.矩阵的乘法运算规律（假设运算都是可行的）注意（4）矩阵的转置(1)定义把m×n矩阵A的行列互换得到一个n×m矩阵
5、，称为A的转置矩阵，记作AT.例如(2)运算规律5、方阵的行列式解法1解法2注这里ATBT不是可乘矩阵，一般地ATBT（ABT）.例8例9已知都是n阶对称矩阵，证明也是对称矩阵证明：例10已知都是n阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件(1)定义由n阶矩阵A的元素构成的行列式，称为矩阵A的行列式.记作
6、A
7、.注矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数.矩阵A行列式
8、A
9、（5）n阶矩阵的行列式运算规律n阶矩阵A、B，一般AB不等于BA，但总有例11例12设Ａ,Ｂ均为３阶方阵且解注意行列式与矩
10、阵的区别.（6）逆矩阵概念（1）定义对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则方阵A称为可逆矩阵，简称A可逆.方阵B称为A的逆矩阵.记为A-1.例12例证明过程中应用公式一个很有用的结果证类似有并且当A可逆时，有证A可逆，即有A-1，使AA-1=E.(充分性)同理可得BA=E.定理矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是(必要性)所以A可逆，重要推论若A、B均为n阶方阵，且AB=E（或BA=E）,则B=A-1.证即A-1存在，有B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1由此可知,定义中AB=BA=E可简化为AB=E（或BA=E）.同理A=B-1证明
11、或求解逆阵问题时常常用到此式！(3)利用伴随矩阵求逆矩阵例解A-1存在.A11=2,A21=6,A31=-4,A12=-3,A22=-6,A32=5,A13=2,A23=2,A33=-2,得所以例13若A-1，B-1存在，则由A-1左乘上式，B-1右乘上式，有A-1AXBB-1=A-1CB-1,（A-1A）X（BB-1）=A-1CB-1,即X=A-1CB-1.由所以A、B都可逆.且求得例14求矩阵X使满足AXB=C.解于是答案练习运算规律定义将A用若干条横线和纵线分成许多个小矩阵（A的子块），以子块为元素的矩阵称为
