广东省广州市普通高中2020高考高三数学第一次模拟试题精选 圆锥曲线03 含答案.doc

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1、圆锥曲线031、给定椭圆：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，求的方程；（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围．【答案】解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．………………4分（2）由题意可得点坐标为，设直线过且与椭圆C只有一个交点，则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得………………6分，即，由，解得，………………8分所以直线的方程为，的方

2、程为，或直线的方程为，的方程为．　　　　　　………………10分（3）由题意，可设，则有，又A点坐标为，故，………………12分故,…………………………14分又，故，所以的取值范围是．…………………………16分2、已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于另一点，求长度的最大值；（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点．证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点．【答案】解：（1）在椭圆中，由已知得1分过点和的直线方程为，即，该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：3分解得：；所以椭圆方程

3、为4分（2）（文）设，则，，其中6分当时，取得最大值，所以长度的最大值为9分（3）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得11分设、，则，，因为以为直径的圆过点，所以，即，13分而=，所以，解得14分如果对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点．，即．所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点．16分3、设直线交椭圆于两点，交直线于点．（1）若为的中点，求证：；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．【答案】（1）解法一：设…………2分，………4分又……………7分解法二（点

4、差法）：设，两式相减得即………………………………3分………………………………………………………………………7分（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，则为的中点．……9分证法一：由方程组…………………………………………………10分因为直线交椭圆于两点，所以，即，设、、则，……………………12分又因为，所以，故E为CD的中点．……………………………14分证法二：设则，两式相减得即………………………………………………………9分又，即……………………………………………………12分得，即为的中点．……………………………14分（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点．则为中点的充要条件是．

5、…………………16分