广东省广州市普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：圆锥曲线03含答案

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1、锥曲线03I、给定椭圆c：二+厶=i（d>b>0）,称圆心在原点o、半径是db，的圆为椭圆c的CTb~“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F（V2,0），其短轴的一个端点到点F的距离为馆.（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线厶仏，使得〔厶与椭圆C都只有一个交点,求厶仏的方程;（3）若点A是椭圆C的“准圆”与兀轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且3D丄x轴，求莊•疋的取值范围.【答案】解：（1）由题意知（=血，且a-Jb2+c2=翻,可得b=1,2故椭圆C的方程为—+/=1,其“進圆”方程为F+y2=4.4分3（2）由题意可得P点坐标为（0

2、,2）,设直线/过PI1与椭圆C只有一个交点，则直线/的方程可设为y二也+2,将其代入椭圆方程可得6分x2+3（Ax+2）2=3,即（3疋+1）兀2+12尬+9=0,由厶=（12灯2一36（3/+1）=0,解得^=±1,8分所以直线/.的方程为y=x+2,/2的方程为y=-兀+2,或直线厶的方程为y=-x+2,厶的方程为y=x+2.10分(3)由题意，可设(-^3

3、加—3)2“0,7+4巧)，32所以殛•而的取值范围是[0,7+4的).16分222、已知椭圆亠+仝二1的两个焦点为F

4、(-c,0)、代(c,0),c?是/与方2的等差中项，其cr中a、b、c都是正数，过点A(Q-b)和B(a,0)的育线与原点的距离为£.(1)求椭圆的方程；(2)过点4作直线交椭圆于另一点M,求

5、AM

6、长度的最大值;(3)已知定点£(-1,0),直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点.证明：对任意的/〉0,都存在实数使得以线段CD为直径的圆过E点.2>2【答案】解：(1)在椭圆中，由已知得c2=a2-b2=a~^~1分2过点A(0,—历和B(a,O)的直线方程为兰+丄

7、=1,即加一ay-ab=0,该直线与原点的距a-b离为』3,由点到直线的距离公式得：,ab=—3分2J宀胪222解得：a2=3.b2=；所以椭圆方程为—+^-=14分31(2)(文)设M(x,y),则〒=3(l_y2),=F+(y+])2二_2)/+2》，+4,其屮-l

8、AMf取得最大值舟，所以

9、AM

10、长度的最大值为半9分(3)将y=kx+t^入椭圆方程，得(1+3疋)兀2+6&X+3尸—3=0,由直线与椭圆有两个(2_1交点，所以△=(6/)2—12(1+3/)(尸一1)>0,解得疋>——II分2设C3，yJ、D(/,“)，则坷+勺=一一，州•左二因为以CQ为直

11、径的一…■]+3疋-1+3/圆过E点，所以ECED=0,即（坷+1）（兀2+1）+必旳=（），与分而yj‘2=（也I+f）（也2+0=疋兀]兀2+仏（乳1+兀2）+'?，所以a2+l）3（r~P-（^+l）6kt.+r2+l=0,解得R=14分1+3疋1+3疋3t9/—1如果——对任意的/>0都成立，则存在£,使得以线段CD为直径的圆过E点.3力2_]x2_1/f2_12i^2八_](-—)2--~=-―>0,即/>―.所以，对任意的/>0,都存在3/39t23使得以线段CQ为直径的圆过E点.16分223、设直线厶：y=交椭圆□二+N=l（d>b>0）于C、D两点，交直线「crb「L2

12、：y=k2x于点E.b2（1）若E为CQ的中点，求证：&也=—-；cr（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真;（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）.【答案】（1）解法一：设C（X]j）D（x2』2）E（XoOo）y=«兀+px2V22方2(b2+q2£：)兀2+2kpa?x+a?p?-a2^2=Q2分-2k.pa21-b2a2kf，X+儿=k.P；；2+2#=fb+cik、b+ak、4分又

13、,y0）22兀1丄X1/h22+》=1(2)两式相减得即2兀（）（兀

14、一七）

15、2儿（）《-儿）=0b2a2b222（2）逆命题：设直线厶：y=g+p交椭圆r：^T+^T=l（a>b>0）于C、D两点,crb，,2交直线乙：y=k.x于点E.若k・k,=_Z，则E为CD的中点.……9分-ay=何兀+p证法一：由方程组J%22（b2-^a2kf）x2+2k}pa2x+a2p2-a2b2=0—+ZT=1〔