柯西不等式的取等条件在解题中的妙用.pdf

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1、2011年第4期中学数学月刊·49·柯西不等式的取等条件在解题中的妙用康小峰(江苏省拼茶高级中学226406)柯西不等式足我们在解决不等式问题时使一是6y，：一一一是，所以旦士鱼#：用频率较高的一个不等式，其基本形式为：对于任十十意实数“，，⋯，“Jl及任意非零实数／)，6，⋯，{一一5．由此即得一芸．6有∑“2，·∑『)≥∑(ai扫)，当且仅当一评注本题若直接求解，过程较繁．借助柯西不等式顺利地实现了从不等到相等的转化干鲁一·一时取等号．关于它的各种变形及使用净利落．其中不等式等号成立的条件及其适当的技巧的文章可谓铺天盖地，但等号成立的条件似变形是实现这一转化的桥梁．

2、乎没有得到足够的重视，其实等号成立的条件具例2已知7sin+24cosa一25，求sina的有潜在的功能，它对于很多等式求值、等式证明值．(2007年全国数学联赛河南省预赛题)和解方程等问题起着四两拔千斤的作用．下面笔简析由已知等式及sina+c。sa一1联想者通过几道例题谈谈柯西不等式的取等条件在解到柯西不等式．625一(sin+cos：a)(7+24)≥题中的妙用，供大家参考．(7sina4-24cosd)：251—625，上式等号成立，其l善用取等条件解决条件求值问题充要条件是翌一百COS，即tan一．知“’R++f25评注题可推广为：若i。．+6。。，2Z"4-

3、v。+一36，，+6y+(：30，求⋯一一一⋯‘⋯⋯‘一‘垒_丁_L的值．(1992年“友谊杯”国际数学邀请一且“+6一(，则an_一·利用柯西不等式L．iy~试题)取件可以很快证明此结论，并且思维简约，过赛九年由知式25×36，，取等条件解决等式证明问题一(“4-64-(-)(+v+。)≥(甜、一～⋯一十6+c)一3o．上式等号成立，其充要条件是例3已知，为锐角，且+一1，一V一，不妨设一詈V一是，则。T丰_丁I号T求小一I,IL-一i-p一．·(＼1996u年T香日港付国际cIJ、奥林J匹克几竞儿赛一2c＼＼／詈、rl工’2i⋯】一’)／一z．{l(＼+。暑、rl、

4、／(＼+。2＼／⋯(＼+)／J!⋯，左边不等式得证·当且仅当署一～‘一即2≥{(1+)。(1+)⋯(1土)}J_一”·意一一，即一!～‘一c时，等号成立‘断以2_』z⋯十r≥(+鲁)(1-r3"2)⋯(1+)．(2)再证右边不等式·一一方面右边不等式得证当且仅当生一生一．一．f14-生14-f14-生14-⋯+f1+1—__、～一生：，即一一一，时，等号成立．1+24-⋯+T”一’刷一一⋯一。叫’寸—’一±±—：—：：—±■——～一2综上，原不等式得证．——，⋯⋯’’。⋯’一．27l+2+⋯+，另一方面，由加权算术一几何平均值不等式得参考文献f1+生14-f14-生)+

5、⋯+(1+：)[1]郭要红．有奖解题擂台(96)[J]-⋯I学数学教学，———一÷一———_、——≥2009(2)：63．7’1十r十⋯十．Z．80526X2O11．．．004试题)3善用取等条件解决解方程(住luJ翘简析已知等式的左边可视为两数的平方f,Z7+y+一3，和，且两个分母的和为1，利用柯西不等式，有例5解方程组。+y。+。：3，(第2届~JI一1—1‘COS~2+sina．27+y十一3．。。』9／一(sin+sin。s美国数学奥林匹克试题)cos。卢)(辩+端)≥(cos2a+sinea)e-1’上简析原方程为高次方程组，难以直接求解．由前两个方程联想到

6、柯西不等式，可得3×3一式等号成立，其充要条件是华：，即(z十y。+)(1+1+1)≥(·1+y·1+兰垡兰sinCOSB·1)一3．上式等号成立的充要条件是5g—Y—sin／?sin。d—COS。J8cos。a．又由a，卢为锐角，可得z，又．27+y十z一3，所以—Y一2—1，它同时满cos(a+卢)一0，结合0<口4-<7c进而可得+足,27+y+=3，故原方程组的解为—Y—z一1．卢：==．例6求满足方程z+(一1)+(z—)。f~]4已，+一，求一÷的一切实数对(，)．证：s@i+==：{．(1992年安徽省奥林简析引入待定参数，u，，由柯西不等式有：(+u+)

7、[。-I-(一1)4-(—)]≥匹克学校招生试题)[+(一1)+(z—j，)]二==[(4-)+(简析已知等式的左边可视为两数的平方一60)y—u]，和，利用柯西不等式可得1一÷(a+6)：令+一0，u一一0，可取一一1，u=：a十01，代入上述不等式得(sin一4a+)(n+)≥(sin2+cos2~)。=1，上LE"+(3，一1)+(—Ly)。≥÷，而已知+翌：—cos—2~式等号成立的充要条件是一，~1Isin2a(．y～1)+(～-y)。一÷，上式等号成立，其充要at)u2条件是COSf-：：——1一=，解得=专，．y一_詈I．b