浅谈在中学数学解题中柯西不等式的运用---毕业论文

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1、【标题】浅谈在中学数学解题中柯西不等式的运用【作者】徐跃【关键词】柯西不等式  中学数学  应用  证明【指导老师】刘春花【专业】数学教育【正文】1引言许多学生对不等式证明、求最值、求参数等题型感到困难，其原因有以下几方面：一是数学基础知识不扎实，二是识别数学模型和组织信息的能力训练不够，三是在思考和解决问题中缺乏理念、方向、方法和技能，四是在探索隐蔽模式显现化过程中缺乏必要的心理素质和技能.我们在解决数学问题时不必拘泥于某种单一的方法，可根据具体情况灵活选择最简单、最优化的方法，从而达到最佳的解题效果.经典的柯西不等式就能给我们解决许多数学问题带来很多的方

2、便，关于柯西不等式的研究一直受到人们的关注，在高中数学新教材中也有选学内容.本文就是应用柯西不等式解决中学数学问题，在解题时将柯西不等式的解题思想渗透给学生，深刻论述柯西不等式在中学数学解题中的优越性.1.1问题的提出及研究意义1.1.1问题的提出柯西不等式是一个重要的不等式，它能够解决数学中很多问题.那么它的应用到底表现在哪些方面？对我们在中学数学解题中有什么好处？1.1.2研究的意义灵活巧妙地应用柯西不等式，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式是解决许多数学问题的有力工具，既符合学生可接受性原则，又充分体现了数学知识的应用价值.研究柯西不等式在中

3、学解题中的应用有利于培养学生思维，提高学生兴趣，能够引导学生去认识数学知识之间的联系.1.2本文研究的目的和内容1.2.1本文研究的目的柯西不等式有着广泛的应用，有许多中学数学问题都可用柯西不等式来求解.为了使柯西不等式解题思想在中学广泛应用，使学生能够熟练掌握运用柯西不等式进行解题，并将柯西不等式解题思路渗透给中学教师和学生，研究柯西不等式在中学解题中的应用具有实用价值.1.2.2本文研究的内容首先简单阐述柯西不等式的基本形式、向量形式及推论形式，然后用具体的例题论述柯西不等式在以下几方面的应用：(1) 柯西不等式在解方程中的应用;(2) 柯西不等式在求参

4、数范围时的应用;(3) 柯西不等式在不等式证明中的应用;(4) 柯西不等式在求函数最值问题中的应用;(5) 柯西不等式在平面几何中的应用.2柯西不等式的一些形式我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧.因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些数学问题有很大帮助.下面我们给出柯西不等式的基本形式、向量形式和部分推论形式.

5、2.1柯西不等式的基本形式 设 、     ，则   × ，设 、   不全为零，当且仅当 =  ( 为实常数， 1,2,  , )时不等式取等号 [1] .证明:若 0，则 0， 此时不等式显然成立.若 0，构造二次函数：                  2      0.对一切   恒成立，所以二次函数的判别式： 4 4  0，即       . .当     时，显然不等式取等号； .当不等式取等号时 0， 二次函数有唯一实根设为 ，则   0，即   ，所以柯西不等式   × 得证.2.2柯西不等式的向量形式设 维向量   ，   ，则有     

6、，当且仅当   时取等号 [2] .2.3柯西不等式的推论形式推论[3]1：若令   ，   ， 0， ,代入得到以下推论：         .推论2[4]：设     ,则   .当且仅当       时，不等式取等号.证明：      ,即    .从而得   .3柯西不等式在解方程中的应用在以前我们见到的方程通常是 个未知数和 个方程的问题.很少看到方程个数多于未知数个数的问题，如果遇到这样的方程，它的解一般不唯一，但是也有可能是唯一解，在中学时很难解决这类方程，有时利用柯西不等式解决这类方程就相当简单.我们不妨来看一看.例1：在实数集内解方程    

7、 分析：本题看似代数题实际是一个立体几何问题，它是关于一个球体 （圆心 在原点，半径 为 ）与一个平面 的交点问题.首先判断球与平面的位置关系，也就是圆心到该平面的距离 ，根据公式 [5] ，容易得出 ，所以  ，即球体与面相切有且只有一个交点.然后求出通过圆心且垂直平面的直线 .直线 必然与球有两个交点，这两个交点中只有一个点在平面上，在平面上的点为所求点.但是应用这种方法时在求直线 时比较麻烦，学生也很难理解，并且在求直线 与球相交时也很复杂，计算量也大，所以这种方法不是解决本题最好方法.实际上本题可以构造柯西不等式来求解，以下是运用柯西不等式解决此题的

8、全过程.解：由柯西不等式得    ,   所以