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《浅谈柯西不等式在中学数学中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈柯西不等式在中学数学中的应用山南地区第二高级中学潘丽平摘要：本文从柯西不等式的证明入手，提示柯西不等式的内在本质。在此基础上归纳出柯西不等式的十种应用技巧。进而在不等式的证明和求极值这两方而阐述柯西不等式在中学数学中的重要应用。Abstract:Inthispaper,werevealtheinternalessenceofCauchyinequalityfromitsproof.Onthisbase,weinducttenapplicationskillsaboutit,anddiscussCauchyinequalityapplica
2、tioninmiddleschoolmathteachingfromtwofactsidentifyinginequalityandgainingextreme・关键词：柯西不等式；技巧；极值Keyword:Cauchyinequality;skill;extreme一、为了证明柯西不等式在中学数学中的应用，下面先回忆一下柯西不等式。柯西(Cauchy)不等式:1=1/=1/=!其屮ai,hieRJ=l,2,...,n。等号当且仅当①二他(心1,2,.../)时成立。证明：证法一：构造法令/(%)=£仏兀+b()2则/=!/(X)二工仏•％+
3、/订二工nX/=!•.•工°；>o,y(x)>0*恒成立。/=!/=1/=!ki=l丿当且仅当aix+bi=0(/=1,2,...,«)即ai-kbi(z=1,2,...,n)时等号成立。证法二：数学归纳法。①当n=1时，左式=右式=尸显然左式=右式。n=2时,左式=(dj++员)=(d]b])2+(°2：2)2+。初；+>(axb})2+(。2〃2)2+2a枚^少?当且=色勺时等号成立=(%b]+°2“2)2=右式故〃=1,2时等式成立。②假设M=k(k>2,kgN)时不等式成立。2bp：j=li=lM=1当JI仅当a】:bx=a2b2=
4、...=ak:瓦时取等号。kkk不妨设A=茁,B=£b：,C=£aibi则n=k+l时/=!/=!/=1il+X+l左式=(A+Q；+i)(B+仍])=AB+4b；+]+%；+]+»C+26如]瓦+]+d；+i〃：+i=(c+蘇+上；+J知1知1(M、2•••h乞b；>Yaibt当且仅当％:b{=a2:b2=...=%]:瓦+1时取等号。即n=k+1时不等式成立。综合①②可知不等式成立。二、为了说明柯西不等式的应用，在此先介绍柯西不等式的几种应用技巧:⑴常数的巧拆，这是柯西不等式应用中的常用技巧。例1：已知。[，皎，…，％w7?+,几n2,几
5、wN,其中s=Q]+a2+・・.+%・求证:1...hns—%s_cirs—cinn—*.*n~=1+1+...+1,(a?—l)s=ns—s=ns—(4+°2+…+a”)〃与川―1的巧拆，给我们提供了运用柯西不等式的条件。证明：(H-1)5-=[(£—dj+(s—dj+•••+($-1…-s_as~an21+1+...+1—H-/.'八(1'1「1丫、…(n—IJ51…nns-a2s-an)即：+++丄s-a}s-a2s-ann-1⑵结构的巧变，冇些不等式不具备运用柯西不等式的条件，需将结构改变一下。114例2：若a>b>c.求证：+>a
6、-bb-ca-c分析：初看似乎无法使用柯西不等式，而仔细观察则不难发现:a-c=(a-b)+(ci-c)114要证明—^+―!->—a-bb-ca-c即证明1I1〉4a-bb-c(d-b)+(b-c)只需证明[(d_b)+0_c)]•(丄+丄卜4ci—bb—c)此时问题就可直接运用柯西不等式来证明不等式。其证明过程略。⑶位置的巧换，柯西不等式屮诸量％，勺具有广泛的选择性，任两个元素％,勺(或b」j)的交换，可得到不同的不等式，需要灵活运用。例3：已知非负数，FLd+b=1，e，兀2是正数，则(^!+bx2)>x}x2析：如果对不等式左边百接
7、运用柯西不等式就得不到所证的结论，而若把第二个括号内的前后项对调一下情况就不同了。证明：(QX]+hx2+d%2)=(aXl+加2Xax2+加1)=(Q+b)2(厶*2即（ax,+bx2bx{+ax2）＞x}x2（当且仅当X）=x2时取等号）⑷项的巧添，有时求最值或证明不等式不能直接运用柯四不等式，添加适当的常数项或和为常数的各项，就可运用柯西不等式。例4：已知：非负实数。［卫2,…，满足a+。2+•••+©,=1，求证61+ci°+6/3+…+a八a21+%+ci^+…+cin1+%+Cl9+・・・+冇一个最小值并把它计算岀來。证明:%+
8、(1+°2+・・・+a“)2—6Z
9、Cl0+(1+%+°3+•••+cin)同理:*]=°”+(1+Q]+勺+...+d“_l)=21+di+a2+•••+%_]2
