资源描述：
《浅析中学数学中柯西不等式的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅析中学数学中柯西不等式的应用刘小菲引言：柯西不等式在屮学数学屮的广泛的应用，它在屮学数学特别是屮学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。它在20届的IMO,26届的IMO以及1987年CMO集训队试题等数学竞赛题屮都有直接或者间接利用到。作为一个基础不等式，它在高等数学屮也起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析屮都有所涉及，并且对证明其它不等式都有很大的作用。本文先从三个不同的方法出发给出了柯西不等式的证明，并结合近年来屮学数学，包括屮学数学竞赛屮的实例,采用从易到难的方法讨论了柯西不等式在证明不等式、求函数极值，解几何问题等
2、方面的应用，并且描述了柯西不等式的几何意义，以及柯西不等式的推广形式。1.柯西不等式的证明柯西不等式的内容是：（、2定理：设ai.bieR（i=l,2n）,则A/=1i=l/=1>（1-1）当且仅当……二如时，不等式等号成立。舛a2Cln对于这个定理有如下证法。证1:作关于兀的二次函数i=l7兀+立才/=!若＞；工0,1=1且＞0,/=!即ax=a2=-an=0,显然不等式成立。则有f（x）=（吗兀_勺）2+（a2x_仇）2+……+（anx_仇）2n0所以［2（£呐）］2-4（£分）・（£方;）<0/=!/=!/=!故（£巾・（
3、£厅）》（£咖2从上面的证明过程看出，当且仅当—・・」时，不等式取等号。4a2an证2:考虑关于x的二次多项式工（g+仇尸2=1（1-2）（E&）扌+2（X也）无+亍bkk=fc=lk=l（1-3）根据（1-2）,（1-3）对于一切实数无是非负的，由此推出（1-1）由（1-2）看出，半且仅半九二虹=.・・=如吋，（1J）取等号成立。a2an证3：•・•对于gyw/?二I。加=久血
4、•+bk<£2%；将上述不等式从"1到“讥助口，得“1n11n£庇如1<舁吃a；+亍赁上=1zJt=l//Ik=选取2使得a吃a：+籟£b；=（£
5、a；屛k=l九k=lk=l则有k=l“1*=1n因为5＞厶由此推出k=（£也）*（£。;）・（£贡）*=1k=lk=l2.柯西不等式在中学数学中的应用对于柯西不等式，它在证明不等式以及求极值等方面都有很多的应用，给我们开拓了思路。2.1柯西不等式在证明不等式中的应用例1已知Q]卫2,…陽都是正数，求证：（⑷+色+•••+%）（*）—aa2an二a〕+@+…+an»n^]a}a2…陽，z.（«!++•••+an）（—+—+•••+―）>M2,当且仅当d
6、=a°=…=吋等号成%ci?an立。证2：构造两个数组:Jd],J。2•八J%
7、；利用柯西不等式有（£血・4）.[£（&；）2]吃（4）2]/=!yjd,/=1f=*lyjQj（£i）y£e）（£丄）/=i/=1/=ich（6f
8、++•••+%）（—I—）ntraa2an例2设afg/?（/*=1,2,•••,/?）,且A+v」一,证明：A<2a{a2i=一I/=i"证明：由柯西不等式，有（乞4J'=[@1+勺）+…+d"F5（F+1?+•••+
9、2）[（6Z,+^2）2+…+d：]=（“一D（工Q；+2叩2）/=!/=1”14+工。「<•（〃-1）（工a：+2叩2）/=1〃一1—A<2aAa2例3设4，
10、勺,••为各不相同的正整数,求证：对任何正整数兀，有不妨设q<•••<%,则Cik>k,故一<—色k••工丄£Ar=lak*=1K・・・£$鸽談寓）,哼申例4已知心0,"（“+务呼+丹+”,求证:/>1629CT证明：由题意，可得+0+D2]rzf2a(/?+l)2/t1ataz.(Z?+l)r/=(/?+l)-+—+^^-+«-(l+-)-=〒[/+@+1)-]+_[alrcrb=[/+3+心[£+©<]纣¥+址少Fb「矿ba.・.(d+b)g=[(奶)2+(丽)2][(彩)2+(爭亍]>(/；+1+6/)2沙（吟!）_业兰曲也十
11、+仍+亠^汀即八4a+ba+ba+bArI-、-Trtn/6Z[++…+6/八。Cl；+ClZ+・••+a：例5证明：(一=——?・nn证明：(q+色+…+d“)，=(4J+Q?*1+…+a“J)，<(aj+a；+…+a；)(1+1+…+1)=M(a；+a；+…+a；).(di+y^+a”)2wnci；+a；+…+a；n若上述不等式小q，E，…,％＞0,两边开平方，得+a才+…+a；n这就是著名的不等式：/7个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。例6求证：对于任意实数4,色和b,b"下面不等式恒成立Jd；+d；+Jbj+b；n
12、J(d]+%)'+(d2+〃2)2证明：由柯西不等式，得：(a；+a；)(b；+b；)(aQi+砂2丫又(Jd；+a；+Jb；+刖=(a；+d；)+(b：+b；)+2J(d：+a；)(b：+b；)n+a；)+(by+/?;)+2(a
