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1、柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。关键词：柯西不等式，证明，应用Summary：Cauchy'sinequalityisaveryimportantinequality,thisarticleusesixdifferentmethodstoprovetheCauchyinequality,andgivessomeCauchyinequalityininequality
2、,solvingthemostvalue,solvingequations,trigonometryandgeometryproblemsintheareasofapplication,thelastuseditprovedthatpointtothestraightlinedistanceformula,betterexplainstheCauchyinequality.Keywords：Cauchyinequality,proofapplication不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应
3、用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理设则当数组a1，a2，…，an,b1，b2，…，bn不全为0时，等号成立当且仅当.柯西不等式有两个很好的变式：变式1设,等号成立当且仅当变式2设ai,bi同号且不为0（i=1，2，…，n）则,二、柯西不等式的证明：常用的证明柯西不等式的方法有：1）配方法：作差：因为所以，即即当且仅当即时等号成立。2）利用判别式证明（构造二次函数法）若，则此时不等式显然成立。若，构造二次函数对于
4、xR恒成立，所以此二次函数的判别式△≤0，即得证。3）用数学归纳法证明i）当时，有，不等式成立。当n=2时，。因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii）假设时不等式成立。即当且仅当时等号成立。那么当时，当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是时不等式成立。由i）ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。4）用向量法证明设维空间中有二个向，，其中为任意两组实数。由向量的长度定义，有
5、,又由内积的定义，,其中是,的夹角，且有。因
6、
7、，故，于是
8、
9、≤即当且仅当
10、
11、时，即与共线时等号成立。由,共线可知即由以上，命题得证。5)利用均值不等式当=0时不等式显然成立当≠0柯西不等式可化为1
12、≥。由均值不等式可知≤==1即1≥当且仅当时等号成立。从而柯西不等式得证。而变式一二可由柯西不等式稍加变形容易得到。三、柯西不等式的应用：1）证明不等式在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。例3.1.1已知a>b>c>d，求证：。证因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)>0,由柯西不等式知=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥=9从而。例3.1.2：已知，求证：证法一：（常用证法）把上面个不等式相加，得即证法二：（利用柯西不等式来证明）分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：由柯西不等式（A）有两相
13、比较，可见用柯西不等式证明较为简捷例3.1.3：设（i=1，2，…n）且，求证：[5]证注意到恒等式=，只需要证明≥即上式左边=≤=，得证。例3.1.4：设实数,满足>0,b,c求证证因为a>0,由均值不等式得==同理可得，，故由柯西不等式可知从而=又=6+故2即2当且仅当时等号成立。例3.1.5：已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式。证明：由柯西不等式：于是。又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于，次小的数不小于，最大的不小于，这样就有。所以有。因为而所以有。例3.1.6：设，则证明：[5]证明：由柯西不等式，对于任意的个实数，有即于是。例3.
14、1.7:设，则。[5]证由柯西不等式变式1，得左边=≥==≥例3.1.8（第42届IMO预选题）设是任意实数。证明：<.证由柯西不等式，对于任意实数有≤令=，k=1，2，…n.因此原不等式转换为证明<1当k≥2时，有≤=-当k=1时，≤1-，因此≤1-<1.故原不等式得证。例3.1.9设，则.[5]证由柯西不等式，得左边=≥-≥==≥例3.1.10.若n是不小于2的正整数，试证：[5]证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有<2）求函数的极值柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值
