柯西不等式的证明及其应用

《柯西不等式的证明及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值一、柯西（Cauchy）不等式：等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：方法1证明：构造二次函数=由构造知恒成立又即当且仅当即时等号成立方法2证明:数学归纳法（1）当时左式=右式=显然左式=右式当时右式左式故时不等式成立（2）假设时，不等式成立即当，m为常数，或时等号成立设A=B=则当，m为常数，或时等号成立即时不

2、等式成立综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题（1）证明不等式例1已知正数满足证明证明：利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故（2）三角形的相关问题例2设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，

3、证明证明：由柯西不等式得：记为的面积，则故不等式成立。2、求解有关数学问题常用于求最值例3已知实数满足，试求的最值解：由柯西不等式得，有即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，时例4空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g均非象限角），求的最小值。解:由柯西不等式得：∵　sin2a+sin2b+sin2g=2　∴　2∴　的最小值为18三、巧用柯西不等式的变形解题很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为

4、易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题．柯西不等式的变形公式：约定有当且仅当等号成立分析：由柯西不等式可得例1设，证明证明：由变形公式得：例2(2007年广州市一模理科)已知a，b>0，且a+b=1，求1／2a+1／b的最小值解析：a，b>0，且a+b=1，由柯西不等知:当且仅当即时等号成立练习设，证明证明：将从新排序设为则有∴而所需证目标：结合柯西不等式得：得结论