柯西不等式证明及应用

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1、柯西不等式的证明及应用（河西学院数学系01（2）班甘肃张掖734000）摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。关键词：柯西不等式证明应用中图分类号：O178IdentificationandapplicationofCauchyinequalityChenBo（departmentofmathematics,Hexiuniversityzhangyegansu734000）Abstract

2、:Cauchy-inequalityisaveryimportantinequation,flexibleingeniousapplicationit,canmakesomecomparativelydifficultproblemseasilysolved.Thistextproveinequality,solvetrianglerelevantproblem,isitworthmosttoask,theapplicationwhichsolvessuchquestionsastheequation,etc.provide

3、sseveralexamples.Keyword：inequationproveapplication柯西（Cauchy）不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数=恒成立即当且仅当即时等号成立证明（2）数学归纳法（1）当时左式=右式=显然左式=右式当时，右式右式仅当即即时等号成立故时不等式成立（2）假设时，不等式成立即当，k为常数，或时等号成立设则当，k为常数，或时等号成立即时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较

4、为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：1）证明相关命题例1．用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点及直线设点p是直线上的任意一点，则（1）（2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得：即（3）当且仅当（3）式取等号即点到直线的距离公式即1）证明不等式例2已知正数满足证明证明：利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故2）解三角形的相关问题例3设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则

5、故不等式成立。1）求最值例4已知实数满足，试求的最值解：由柯西不等式得，有即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，时5）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程解：由柯西不等式，得①又即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得6）用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记，，则，，由柯西不等式有，当时，此时，，为常数。点均在直线

6、上，当时，即而为常数。此时，此时，，为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。致谢：在本文的写作过程中，得到了马统一老师的精心指导，在此表示衷心的感谢。参考文献：柯西不等式的微小改动数学通报2002第三期柯西不等式与排序不等式南山湖南教育出版社普通高中解析几何高等教育出版社1990-年全国统一考试数学试卷李永新李德禄中学数学教材教法东北师大出版社盛聚，谢式千，潘承毅概率与数理统计高等教育出版用用柯西不等式解释样本线性相

7、关系数数学通讯2004年第七期2004年6月