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1、442000年第5期数学通报浅谈柯西不等式的证明及应用刘治和(江西省萍乡市莲花中学337100)柯西(Cauchy)不等式(a1b1+a2b2+⋯+综合1)、2),可知不等式成立.222222anbn)≤(a1+a2+⋯+an)(b1+b2+⋯+柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活2a1a2巧妙地运用它,可使一些较困难的问题迎刃而解.bn)(ai,bi∈R,i=1,2⋯,n),当且仅当==b1b2这个不等式结构对称和谐、应用灵活广泛,深受人⋯an们的喜爱.不完全归纳,利用柯西不等式处理数学=时等号成立.现将它的证明介
2、绍如下:bn问题,常见的两大类型有:证明1(构造法):构设二次函数(1)证明相关的数学命题22f(x)=(a1x+b1)+(a2x+b2)+⋯+(anx例1已知正数a、b、c满足a+b+c=1,证22222+bn)=(a1+a2+⋯+an)x+2(a1b1+a2b2222333a+b+c+⋯a222),∵a122明:a+b+c≥nbn)x+(b1+b2+⋯+bn+a232+⋯+an>0,f(x)≥0恒成立,∴△=4(a1b1分析为了吻合问题中的某些式子,将因式2222+a2b2+⋯+anbn)-4(a1+a2+⋯+an
3、)拆项,这是柯西不等式应用中常用技巧之一.本题222)≤0,即(a222õ(b1+b2+⋯+bn1b1+a2b2+⋯将a、b、c分别拆项就能达到目的.222222+anbn)≤(a1+a2+⋯+an)(b1+b2+⋯证明利用柯西不等式,2313131+bn),当且仅当aix+bi=0(i=1,2,⋯,n),即(a2+b2+c2)2=(a2a2+b2b2+c2c2)2≤a1a2an32323233==⋯=时等号成立.[(a2)+(b2)+(c2)][a+b+c]=(a+bb1b2bn32+c)(a+b+c)(∵a+b+c
4、=1).证明2(数学归纳法):222222又∵a+b+c≥ab+bc+ca,在此不等1)当n=1时,左式=(a1b1),右式=a1b1,22222式两边同乘以2,再加a+b+c,得(a+b+c)显然左式=右式,当n=2时,右式=(a1+2222222222≤3(a+b+c),a2)(b1+b2)=(a1b1)+(a2b2)+a2b1+222233322222∴(a+b+c)≤(a+b+c)õ3(a+a1b2≥(a1b1)+(a2b2)+2a1a2b1b2=(a1b1+22b+c)2a1a2a2b2)=左式,仅当a2b1
5、=a1b2,即=时取等a2+b2+c2b1b2故a3+b3+c3≥.3号,故n=1,2时不等式成立.3例2设f(x)=2)假设n=k(k∈N,k≥2)时,不等式成xxxx2221+2+⋯+(n-1)+an立,即(a1b1+a2b2+⋯+akbk)≤(a1+a2+lg,若0≤a≤n2)(222a1a21,n∈N3,且n≥2,求证:f(2x)≥⋯+akb1+b2+⋯+bk),当且仅当=b1b22f(x)(1990年高考题)ak22=⋯=时取等号.且设A=a1+a2+⋯+分析先把要证结论进行等价转化,使之出bka2222现柯
6、西不等式的结构,再用它证明.k,B=b1+b2+⋯+bk,C=a1b1+a2b2+222证明∵f(2x)≥2f(x)Z⋯+akbk,则(A+ak+1)(B+bk+1)=AB+Abk+12x2x2x2x2222221+2+⋯+(n-1)+an+Bak+1+ak+1bk+1≥C+2Cak+1bk+1+ak+1bk+1lg2222n=(C+ak+1bk+1),∴(a1+a2+⋯+ak+xxxx1+2+⋯+(n-1)+ana22+b222≥2lgk+1)(b12+⋯+bk+bk+1)≥(a1b1+a2b2n2x2x2x2x2a
7、1a2ak1+2+⋯+(n-1)+an+⋯+ak+1bk+1),当且仅当==⋯==Zb1b2bknxxxx2ak+11+2+⋯+(n-1)+an时取等号,即n=k+1时不等式亦成立.≥bk+1n2000年第5期数学通报452x2x2x2xZn[1+2+⋯+(n-1)+an](2)求解有关数学问题xxxx2≥[1+2+⋯+(n-1)+an]①+ab例5已知x、y、a、b∈R,且+=1,∴只要证明①式即可.xyn个则x+y的最小值是()22222∵n=1+1+⋯+1,a≥a,(A)4ab;(B)(a+b);n个(C)22a
8、b;(D)22ab.2222x2x∴①左边≥(1+1+⋯+1)[1+2+⋯+(n-1)2x+(anx)2]≥〔1x+2x+⋯+a分析构造两组实数x,y;,xx2x(n-1)+an〕,即①式成立.故原不等式得证.b+ab,∵x、y、a、b∈R,+=1,例3设P是△ABC内一点,x、y、z是P到yxy三边a、b、c的距离,R是△ABC
