浅谈柯西不等式及其应用.pdf

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1、教参解法探究浅谈柯西不等式及其应用⑩湖北省嘉鱼县第一中学成云勇柯西不等式是高中不等式内容的一个重要知识点，当仅当b=b=⋯=6，肘，等‘成．是高中不等式内容的升华，其具有非常鲜明的结构特柯西不等式主要有以下方面的应用点，形式优美，通过柯西不等式的学习，可以提升学生的探究创新能力，激发学生的数学学习兴趣，提高学生一、证明不等式的数学整体素质．柯西不等式在不等式的证明、最值的求解、参数范同的求解等方面有重要的运用．例1设“、b、c∈R一}{-小令十¨等，求证：⋯兰+兰十n+b1)+r柯西不等式：若、b∈R+(1、2⋯、n)，则：(∑n)·29一一>

2、————⋯．a+ca+b+c(芝6)≥f，)，当且仅当6：0或存在唯一实数，使分析：观察其结构特点，可运用变式2证明．得a,=kb时，等号成立．证明：，得fl十{)+≯+f什(’≥斗}D十(J变式1：若嘶∈R，6∈R+(1、2、⋯)，则：∑1≥．i一一，当且仅当a+b：b+C--a+C,即6：．时，等号成．义、∑晴1b、不全相等，则～-十_1+～互>．、，仅当存在唯一实数，使得6寸，等号成Ⅱ+fJb+“+CⅡ+b+C∑二、运用柯西不等式求最值一2⋯测例2(1)设止数、Y、满足H一=1．求数l=2x!+3y的最小值．意点的距离均不少于80m．经测

3、量，点A位于点0正北题目5(2013年江苏，17)在平面直角坐标系(方向60m处，点C位于点0正东方向170m处(OC为河岸)，中，点A(0，3)，直线Z：y=2x一4．没同的半径为1，同心在z}．(1)若圆心C也在直线y=x一1上，过点作圆c的切tanBCO：．3线，求切线的方程；(1)求新桥BC的长．(2)若圆C上存在点，使IMA1=21MOI，求同心c的横(2)当()多长时，圆形保护Ix二的面积最大?坐标。的取值范嗣．题目3(2011年江苏，14)设集合4=直线与圆的呈现千姿百态、百媚千娇，其求解过{(，)j≤(一2)+Y≤m2，、y∈R

4、}，B={(，)I2”≤+美不胜收、令人流连，其答案，蚁繁于简、合理平实．如粜再深层探究，那么会更摇曳生姿，会变换得美轮美奂，会y~<2m+1Y∈R}，若An曰≠，则实数m的取值范围是让你进入另一个仙景——圆锥曲线景观．题目4(2012~江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为!+一8x+15=0，若直线y=kx一2上至少存参考文献：在～-点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆C有公共1．王安寓．圆背景椭圆题推陈出新淡出奇[J]．中点，则的最大值是——学数学(上)，2013(9)．圜审·毒《：-拿高中版⋯究妻(2)求函数)=、／+1十

5、的最大值．系，发现等号刚好成立，再运用祠曲不等式等号成立的分析：柯西不等式经常用于求多元变量的最值，求条件，求解}n、y,Z的值．最值时，一定要把握住不等号的方向，通过添、凑等方解：(X2+y2+)(12+2+3)≥(+2y+3z)(1)．法，配凑出定值．(1)中要配出关于定值+y的表达式，又+y2+z2=1，料2y+3z=X／M，则(1)式等号成．(2)中要通过配凑将变量消掉．则}=专=号，代入卅+3=＼／中，得：=14，解：(】)由(+3+Z2)(+÷+1)≥V3、／V=——．=——．(＼、／·1+、／了)，··1)J(⋯+y⋯)：l，’得

6、。⋯≥714Nlx+y+z=—3x／-fa一．ll，等号成的条件是：2x-3y=z·又卅y_l'贝4当音ll、2五、与柯西不等式有关的综合问题z：y=ll、吾ll时，u取得最小值鲁l】．(2)()=。、／+≥+~q／2-x一≤‘例5已知函L=xlnx，g()=1X2+{一．(1)设F()-厂()+g()，求函数F(x)的图像在x=l处、／料{+2=，当且仅当、／·_l·的切线方程；(2)求证：e，≥g()对任意∈(0，+∞)恒成立；、／卅，即=时，等号成立．(3)若。、6、c∈R+，ft．a2+b2+c2=3，求证：+三、求参数的取值范围_(!

7、+≤6．b+1c+1例3已知实数Ⅱ、b、c满足a+2b+c=1，a2+b+c=1，求C分析：第三问涉及多元不等式的证明，具有明显的的取值范同．对称性，可用柯西不等式证明，证明过程中注意对(2)中分析：观察两个式子的特点，可根据柯西不等式建结论的运用，运用柯西不等式要注意对不等号方向的把立关于C的一元二次不等式，从而求出C的取值范围．握，注重对定值的配凑．解：由(口)(12+2)≥(a+2b)，得5(1-c)≥(1-c)(1一解：(1)和(2)解答略．c)，即3c一c一2≤0，解得一÷≤c≤1．(3)由(2)得：≥2+2．所求c的范同为一亏，J·

8、则++≤1一十!±十注意：有些同学在解题过程中，可能出现类似于以b+c+l三6z+三2222下的解法．(r上+62，、f(6+c)．(c+)．(a+b