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1、中学生数学·2009年9月上·第377期(高中)柯西不等式的应用学安徽省五河第一中学(233300)张同语杨威好柯西不等式是新课标教材选修模块中的为7,在该几何体的正视图中这条棱的投影是基新增内容,以柯西不等式为背景的试题已悄然础长为6的线段,在该几何体的侧视图和俯视图地在高考试卷中出现.在解题中若能灵活地应知中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则用柯西不等式求解,则会使思路简捷明快,新识a+b的最大值为().颖别致,下面试举几例,以示说明.(A)22(B)23(C)4(D)251.利用柯西不等式求解函数题解析设几何体的棱长为7的棱为AC1,
2、例1(2008年重庆)函数y=1-x+以AC1为对角线构造一个长方体ABCD-x+3的最大值为().A1B1C1D1,则线段DC1,BC1和AC分别是该解析由柯西不等式知:1-x+x+3几何体的棱AC1在其正视图、侧视图和俯视图22≤1+1·(1-x)+(x+3)=22,故应填中的投影线段,设AB=x,AD=y,AA1=z,则22222.x+y=b,222评析本题是一道无理函数题,解题方法很y+z=a,22多,但应用柯西不等式求解无疑是最简单的.z+x=6,2222.利用柯西不等式求解三角题x+y+z=7.22例2(2008年浙江)若cosα+2
3、sinα=从而得a+b=8.222由柯西不等式得(a+b)≤2(a+b)=-5,则tanα=().16,所以a+b≤4,当且仅当a=b=2时取等11(A)(B)2(C)-(D)-222号,故选(C).2解析由柯西不等式得:(cosα+2sinα)≤评析本题构思新颖,设问巧妙,其解题2222(1+2)(cosα+sinα)=5①,而cosα+2sinα关键在于构造长方体模型后建立a与b的关系22=-5,故5≤5,即上述不等式①的等号成立,式a+b=8,而后再用柯西不等式求得a+b12的最大值就显得非常容易了.由柯西不等式取等号的条件知=,所cosα
4、sinα4.利用柯西不等式求解解几题以tanα=2,故选(B).xy例4(2008年全国(Ⅰ))若直线+=评析本题若用传统方法求解计算量较ab大,而用柯西不等式求解,则简单明了.1,通过点M(cosa,sina)则().22223.利用柯西不等式求解立几题(A)a+b≤1(B)a+b≥1例3(2008年海南)某几何体的一条棱长(下转第14页)(上接第12页)参考文献之钱,这是分析该游戏的关键所在,抓住这个“等量关系”,可以大大简化对“押宝游戏”分[1]黄晓东.巧用概率识骗局.中学生数析过程.学.2009年4月上(高中)(责审马恩林)网址:zxss
5、.chinajournal.net.cn·13·电子邮箱:zxss@chinajournal.net.cn中学生数学·2009年9月上·第377期(高中)(上接第13页)1112(a1+a2+⋯+an)·(++⋯)≥n.a1a2an1111(C)2+2≤1(D)2+2≥1学abab所以a1+a2+⋯+an2好cosan解析据条件及柯西不等式得1=(≥a111基++⋯+a1a2ancosa222111+)≤(cosa+sina)·(2+2),所以22础baban=222知+1≥1,故选(D).(1+)+(1+2)+⋯+(1+n)2333b识22评析
6、本题解题切入点很多,但应用柯西=n=n.1n+1不等式求解无疑是最优的.n+1-n35.利用柯西不等式求解数列题故原不等式成立.例5(2008年陕西)已知数列{an}的首项评析本题的第(2)问,通过结构联想柯a33an111=,an+1=,n=1,2,⋯,(1)求{an}西不等式的特例(a52an+11+a2+⋯an)·(a++1a22n1的通项公式;(2)证明a1+a2+⋯+an>.⋯+)≥n2,则巧妙获解,比起其它解法来则n+1an解析(1)由条件a3an1显得事半功倍.n+1=]=2an+1an+1可以预见,随着新课改的深入进行,柯西112
7、·+,进而容易求得{an}的通项公式为不等式将越来越受到高考命题者的青睐,希望3an3n能够引起师生们注意.312an=3n+2>0,从而an=1+3n.(责审余炯沛)(2)由柯西不等式得n+12n-1n(上接第15页)2cosαcos2αcos2α⋯cos2αcos2αsinα则an+1=n+1.∴当n为正整数时,an≡an+1.sin2αnn∴a1=a2=a3=⋯=an,∴an+1=2sin2αcos2α=1.n+1αansin21+1又a1=21·1=1,∴当n为正整数时,an≡an+1.∴an≡1恒成立.∴a1=a2=a3=⋯=an.即(
8、n+1)(n+2)⋯(n+n)=2n·1·3·52cosαsinα又a1==1,sin2α3·⋯·(2n-1)(n∈N)成立.∴an≡1
