柯西不等式的证明及应用研究_王莲花 (1).pdf

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1、第12卷第1期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.12No.12003年3月JoumalofHenanInstituteofEdueation(NaturalScienee)Mar.2(X)3:1007一08342301一以刃5一03文章编号《(X))柯西不等式的证明及应用研究,,,王莲花李哗李战国刘芳,(河南农业大学基础科学学院河南郑州45砚洲,〕2摘:3,、利用欧氏空间中内积性质证和利用初等方要文中给出柯西不等式的种证明方法即利用行列式方法证法证.并举例说明柯西不等式在不等式证明中应用的广泛性和灵活性.:;;应用关键词柯西不等式证明中图分类号:0151.21文献标识码:B

2、mn.1柯西不等式及其证明(当>时规定右边为零)...,,,。,,,。,设al。2⋯a及b;b:⋯b为任意实数则定理1的证明可参看文献【l]的定理482不等式下面利用定理1给出柯西不等式的行列式证明:a‘。‘’、a履)(名。圣)方法(习)(名:证明令矩阵.a,,,,成立当且仅当‘二肠‘(i二12⋯n)取等号这就是著名的柯西(Cauchy)不等式.哈::l::,有关柯西不等式的证明多见于文献「l]中定.eseseweseses.rL理12.1.1及推论12.1.1的证明方法.笔者在教学过,,程中发现了该不等式的另外一些证法写出以供同C一AA一行参考.乙。‘。‘艺。是{1.1利用行

3、列式方法证明柯西不等式=.故.。.。。一。‘。‘’定⋯(全:)(全:)(全)1知:}三:井但由定理l队lU」aibi巧.‘’!习aj阮aj石!16!Ic·=一艺l)l〔i

4、间中内积性质证明柯西不等式U一UZf,,,三言}alaZ⋯n维欧氏空间V的一命题设%是:22一一收稿日期00612作者简介:王莲花(1964一),女,河南宁陵人,河南农业大学基础科学学院副教授.,组向量而a‘’=a‘a=。‘/。/(艺{)a一,al尹、J‘尹叹‘‘了、矛al,aZ口1,叹(名{()爪,aZ,a.aZaZa二=()口2,口m则艺了习b了1,,.a,,a,a.,aZa,,a。因此有。伪‘、1成立这就等价于)()⋯()艺:,。,,aZ,,a二证明当且仅当}△!尹。时⋯线性无几几几,。,、、、Zj、伙、l戈飞、关.乙山a‘01)蕊、乙山ai)气‘“Ui)‘二l。二l镇二

5、I.该命题的证明可参考文献〔2]的1014题即柯西不等式成立.下面首先利用欧氏空间中内积性质证明柯西2柯西不等式的应用一布涅柯夫斯基不等式、柯西不等式在不等式的证明中有着十分重要的,,定理2在实内积空间中对任意的向量a月作用,它不仅应用广泛,而且用法灵活.下面通过一有些具体例子加以说明.,,,,,。!(a月)一蕊一(l)n证明对任意实数。,c:⋯c有一1月一习,.且仅当。月线性相关t‘1脚等号成立当e‘l二。(。+e+⋯+。):在平,。,,了圣圣乙证明面几何中当月线性无关时,二。‘,‘二,a,证明:在柯西不等式中令氏llb1则>Cos(a,=(召)尹)la日月l,.,,即(a夕

6、)2<(aa)(月月)。(一e、l’)(l,),,,,在一般欧氏空间中。由。月两艺艺名月线性无关时向量生成的欧氏空间与平面上向量全体所成欧氏空即e‘l鉴n(e+。+⋯+。),习丫f圣毛间同构所以,,,‘,,,,二““(a月)2<(a。)(卢召)⋯“‘2’例二2设仇)J(.!}.由命题知森!兴顽+⋯+蕊。,2二。,。,a,证明丫万;+了亡压丫瓦。)、)(,,)。(月)nn一,,了(Zl)}}月a(召月).0劳a,月线性相关证明:由二项定理得于是(l)式得证.l+C.+C:+⋯+C。=(l+l)”=,。n.作为柯西一布涅柯夫斯基不等式的特殊情况即C:+CZ+⋯+C二Z,l,,,,。

7、,尺a二a,aZ⋯a=,,a,在实线性空间中令()月于是在柯西不等式中令‘二lbi了Z{,,Z,,。,:bb,,,,(b⋯)并定义内积如下l2⋯n)则。,一,召=a、))艺l名叮瓦}:之即可得到柯西不等式‘:.。。’、。‘,。‘,(艺)(艺)(艺)利用初等方法证明柯西不等式.,例3证明:若a,〕a:〕⋯李a,〕0且.,:先设。==1此时所要证的证明产:,,,,、夕乙艺时a‘、b二12。了.、凡‘、夕J,名艺k⋯了,‘不等式为。声‘、艺则。泣,、。‘,名名事实上,因为a*一。*十:,在(2)式