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1、柯西不等式的初等证明及变形作者:张黎娜在客观事物中，不等量关系是普遍的，等量关系是相对的，不等式更一般地反映了数量之间的关系和规律,也反映了大量实际问题的内在联系与本质.所以,不等式在中学数学中具有重要地位和广泛应用,是培养学生数学能力与应用意识的重要素材.自然,不等式相关问题也就成了历年高考数学的考查重点,突出考查学生联系与转化,分类讨论,数形结合等重要的数学思想方法和逻辑思维,数学应用等重要的数学能力.试题不但形式多样,在试卷中占有较大比重,而且没有固定的模式,如果我们能就某问题找到简便方法,并挖掘出与我们所学知识的纵横联系
2、,灵活运用,将大大提高解题能力.而在不等式证明中,使用柯西—布涅可夫斯基不等式(简称柯-布不等式或柯西不等式)往往是最优者,因为它使解题简捷明了.在高等数学中,我们可以运用内积性质给予完整地证明,但要将这种证法介绍给中学生,是有一定难度的因此本文探求柯-布定理的初等证法,并给出一些简单变形.一柯西不等式的定理和初等证明定理（Cauchy不等式）∈R,i=1,2,…,n,有≥当且仅当==…=等号成立.证明:1.数学归纳法.(i)n=1时,,不等式成立.(ii)如果n=k–1时,不等式成立,令=,=,=,有≥.(iii)那么n=k时
3、=(+)()=+≥≥==综上,对∈N,∈R,i=1,2,…,n,均有≥.5[注]以上给出一种中学普遍使用的一种证法——数学归纳法.证明思路直接且不繁杂,易为中学生接受,以下给出的证法运用了二次函数y=a(a＞0)这是中学生非常熟悉的函数之一,且是学习的重点,它有很多性质,其中当且仅当△≤0时,y保号非负.这里就运用判别式这性质来证明.2.判别式法令f(x)=++…+整理得:f(x)=(+(由f(x)≥0有△≤0即△=4－4((≤0((≥[注]此证法思路巧妙，简捷明快，这样构造二次函数，利用判别式的方法可用予解决一类问题。以下运用
4、中学生熟悉的均值不等式：i=1,2,…,n,n≥2，则≥（nN）及推论，推广来证明柯西不等式.3.我们先运用ab来证明.记=,=,,i=1,2,…,n.则柯西不等式等价于≥,也等价于.当且仅当即时等号成立.当且仅当即时等号成立.……当且仅当即时等号成立.5以上n个式子相加得…+≤==1当且仅当时等号成立,即等价命题成立.柯西不等式成立.4.参数法.设k≠0由平均值不等式得即可视为k的二次函数.)==≥[注]如此引入参数,将问题转化为求参数的最值,运用的均值不等式和二次函数都是中学数学的基础内容,且此法思路自然,操作简单,易于学生
5、接受和掌握.5.运用推广不等式.若为正数，为非负数，i=1,2,…,n,实数m≥0，则++…+≥(当且仅当时等号成立).5在以上推广不等式中取m=1,,i=1,2,…,n,有++…+≥化简得:((≥当为零或几个为零（处于对称位置）,不等式显然成立.≥当且仅当时等号成立.以上给出了柯-布不等式的五种初等证法.不难看出柯-布不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,广泛的应用,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.所以,笔者认为,若将此定理作进一步剖析,归纳它的各类变形,并介绍给广大同学,将有助于解题能力的提高.二
6、变形公式及简单证明1.令i=1,2,…,n,则证：令,,i=1,2,…,n,依柯西不等式有即.证毕.2.设i=1,2,…,n,)则有++…+证:令,i=1,2,…,n,即依柯西不等式有≥,即=++…+.证毕.53.i=1,2,…,n,有.证:依柯西不等式有≥,取，（i=1,2,…,n,）有.证毕.4.i=1,2,…,n,均有证:由柯西不等式有≥,取，，i=1,2,…,n,得证毕.参考文献：[1]戴志祥，一类分式不等式的新证法，《数学通报》，1998（10）.[2]王太武，一个不等式的应用，《数学通报》，1998（6）.[3]周永
7、国，引用参数证不等式，《数学通讯》，1998（2）.[4]徐幼明，柯西不等式的推广及其应用，《数学通讯》，1996（12）.[5]陈昭木，陈清华等《高等代数》下册，福建省教育出版社，1993年.[6]常庆龙，一类分式不等式的证明通法，《中学数学月刊》1997(10).5
