柯西不等式的变形技巧.pdf

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1、2O10年第4期“希望杯”及其它数学竞赛《数理天地》高中版柳西不等式的鼠彩蕊国戴志祥(浙江省绍兴市高级中学312000)柯西不等式例2设Ⅱ，b，f∈R，求证：设口l，nz，⋯，日，bl，b2，⋯，b∈R，上巫上nb’C则(n；+ni+⋯+n：)(6+b；+⋯+b：)≥(口lb1+口2b2+⋯+口b)，≥3、／，当且仅当b一0(i一1，2，⋯，”)或存在一个数k，分析考虑到所证不等式当且仅当n—b使得口一kb(一1，2，⋯，)时，等号成立．—C时等号成立，这时柯西不等式形式优美，有重要的应用价值．()。一+·b2一+，应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变形．本文归

2、纳运用柯西不等式解题的变形技巧，于是结合柯西不等式等号成立条件，考虑匹配供大家参考．辅助式1+．1．等价变形证明由二元柯西不等式，得将要解决的不等式问题作等价变形，构造(1q-A)(1q-·b2(1+A·鲁)。，出个实数的平方和与另个实数平方和的乘两边开方，得积的形式．例1已知口，b，C∈l，求证：而·弼≥．b+f+’C+n+’南口+b≥。／32．’同理而·孵≥1，证明++≥3，11而·孵≥，㈢(a+6+1)≥号，一．一．一⋯将上面三式相加并整理，得甘[(“+6)+(6+)+(c+n)](++)~／a2+五Ab2~／b2+Ac2v／d+,la．2≥9，由柯西不等式

3、，得≥．㈩[(n+6)+(6+c)+(c十n)](++)因为++旦≥3，一[()+()。+(_=F)]·代入(*)，得[()+()+()]上4-≥(1+1+1)。一9，故原不等式成立．≥3／r．2．配辅助式例3设z，Y，2>0且4x+3y+5z一1，为了应用柯西不等式，有时要根据所证不求++的最小值，并指出相应等式的结构特征，结合柯西不等式等号成立条件，匹配适当的辅助式，使问题获证．的z，Y，的值．《数理天地》高中版“希望杯”及其它数学竞赛2010年第4期分析考虑到4z+3+5一(z+)+2(+2)+3(z+z)=1，要求++的最小值，可匹配辅所以324-y+≤助

4、式(z+．y)+2(+)+3(z+)，为应用柯西不等式创造条件．又解4+3+5一(1z+)+2(+z)+3(+z)一1，由柯西不等式，得所以z4-y+z≥再1+11十故√舌≤十+z≤11q===(4+3y+5驯(_1)⋯，，≤十瓜+≤一E(x+)+2(+)+3(z+z)](丰++})z≤4．配系数Ly，，lr，，●一．＼一f)～≥(1+,／g4-)，为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间当且仅当斗一的联系，有时要通过巧配系数来完成．≥(z+)。一2(y+z_)+_=1—35(z+z)。例5当点P沿直线y一2x4-6移动，点=+一2且4z+3+5z==：1时等号成立，

5、得Q在椭~l-ra-+一1上运动时，线段PQ的长．+64-2一3u+度的最小值等于．12(1-t-√2+,／8)——(第十四届(03年)希望杯高二培训)6+3一2解设Q(x。，。)到直线y一2x4-6的距12(1+√+2y+√)3)"y一离为d．+2-t-3一一一6—因为12(1+√2+卜,fl3)鬈故++的最小值为Z9一所以(1+√2+,／5)．又PQl≥一3．适当换元有时根据所证不等式的结构特征，适当换由柯西不等式，得元，转化为容易应用柯西不等式的结构特征，使2·XO)≤(詈2+)，问题简捷获解．例4已知a，b，C∈R+且a+b4-C===1，所以一2,／7≤

6、2x。一。≤2，即2z0一Yo4-6>0，牡：≤++所以IPQI≥一≤二≥一证明设．z一~／_二F，一、／，5’z一而，故线段PQ的长度的最小值等于贝0，，z≥o且5z+y+2z。一7，6一2———一‘由柯西不等式，得·24·