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时间:2020-04-02
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1、2O10年第4期“希望杯”及其它数学竞赛《数理天地》高中版柳西不等式的鼠彩蕊国戴志祥(浙江省绍兴市高级中学312000)柯西不等式例2设Ⅱ,b,f∈R,求证:设口l,nz,⋯,日,bl,b2,⋯,b∈R,上巫上nb’C则(n;+ni+⋯+n:)(6+b;+⋯+b:)≥(口lb1+口2b2+⋯+口b),≥3、/,当且仅当b一0(i一1,2,⋯,”)或存在一个数k,分析考虑到所证不等式当且仅当n—b使得口一kb(一1,2,⋯,)时,等号成立.—C时等号成立,这时柯西不等式形式优美,有重要的应用价值.()。一+·b2一+,应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变形.本文归
2、纳运用柯西不等式解题的变形技巧,于是结合柯西不等式等号成立条件,考虑匹配供大家参考.辅助式1+.1.等价变形证明由二元柯西不等式,得将要解决的不等式问题作等价变形,构造(1q-A)(1q-·b2(1+A·鲁)。,出个实数的平方和与另个实数平方和的乘两边开方,得积的形式.例1已知口,b,C∈l,求证:而·弼≥.b+f+’C+n+’南口+b≥。/32.’同理而·孵≥1,证明++≥3,11而·孵≥,㈢(a+6+1)≥号,一.一.一⋯将上面三式相加并整理,得甘[(“+6)+(6+)+(c+n)](++)~/a2+五Ab2~/b2+Ac2v/d+,la.2≥9,由柯西不等式
3、,得≥.㈩[(n+6)+(6+c)+(c十n)](++)因为++旦≥3,一[()+()。+(_=F)]·代入(*),得[()+()+()]上4-≥(1+1+1)。一9,故原不等式成立.≥3/r.2.配辅助式例3设z,Y,2>0且4x+3y+5z一1,为了应用柯西不等式,有时要根据所证不求++的最小值,并指出相应等式的结构特征,结合柯西不等式等号成立条件,匹配适当的辅助式,使问题获证.的z,Y,的值.《数理天地》高中版“希望杯”及其它数学竞赛2010年第4期分析考虑到4z+3+5一(z+)+2(+2)+3(z+z)=1,要求++的最小值,可匹配辅所以324-y+≤助
4、式(z+.y)+2(+)+3(z+),为应用柯西不等式创造条件.又解4+3+5一(1z+)+2(+z)+3(+z)一1,由柯西不等式,得所以z4-y+z≥再1+11十故√舌≤十+z≤11q===(4+3y+5驯(_1)⋯,,≤十瓜+≤一E(x+)+2(+)+3(z+z)](丰++})z≤4.配系数Ly,,lr,,●一.\一f)~≥(1+,/g4-),为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间当且仅当斗一的联系,有时要通过巧配系数来完成.≥(z+)。一2(y+z_)+_=1—35(z+z)。例5当点P沿直线y一2x4-6移动,点=+一2且4z+3+5z==:1时等号成立,
5、得Q在椭~l-ra-+一1上运动时,线段PQ的长.+64-2一3u+度的最小值等于.12(1-t-√2+,/8)——(第十四届(03年)希望杯高二培训)6+3一2解设Q(x。,。)到直线y一2x4-6的距12(1+√+2y+√)3)"y一离为d.+2-t-3一一一6—因为12(1+√2+卜,fl3)鬈故++的最小值为Z9一所以(1+√2+,/5).又PQl≥一3.适当换元有时根据所证不等式的结构特征,适当换由柯西不等式,得元,转化为容易应用柯西不等式的结构特征,使2·XO)≤(詈2+),问题简捷获解.例4已知a,b,C∈R+且a+b4-C===1,所以一2,/7≤
6、2x。一。≤2,即2z0一Yo4-6>0,牡:≤++所以IPQI≥一≤二≥一证明设.z一~/_二F,一、/,5’z一而,故线段PQ的长度的最小值等于贝0,,z≥o且5z+y+2z。一7,6一2———一‘由柯西不等式,得·24·
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