柯西不等式

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1、重庆市合川瑞山中学“121”行知品质课堂导学案二维形式的柯西不等式高2020级学科：数学设计教师：秦艳审核：张益平一、导学要求【学习目标】1．认真研读教材31-35页，能用自己的话说出二维形式的柯西不等式的结构特点、等号成立的条件及其变式；2．通过利用平面向量的数量积的性质探究发现柯西不等式，会用多种方法证明柯西不等式；3.会利用柯西不等式证明简单的不等式，求一些简单函数的最值．【学习重点】二维形式的柯西不等式及其简单应用【学习难点】二维形式的柯西不等式的结构特点【学习方法】自学法讨论法探究法二、导学过程（一）温故知新情景引入：柯西(Cauchy

2、,1789—1857)是法国数学家、物理学家、天文学家。数学史上是仅次于欧拉的多产数学家，全集有27卷，其论著有800多篇问题1设α和β是平面内的两个向量，那么α与β的数量积的定义是什么？问题2根据数量积的定义

3、α·β

4、怎样计算，它与

5、α

6、

7、β

8、的大小关系如何，为什么？问题3设在平面直角坐标系x0y中α=(a,b),β=(c,d)，那么不等式

9、α·β

10、≤

11、α

12、

13、β

14、又可以怎样表示呢？（二）学而知困定理1（二维形式的柯西不等式）若a，b，c，d都是实数，则_____________________________，当且仅当__________时，等

15、号成立．变式：__________________________________________练习：根据二维形式的柯西不等式填空：（1）已知a，b，c，d是非负实数，则(a＋b)(c＋d)≥_____________________（2）3＋4≤_____________________问题1你能给出定理1（二维形式的柯西不等式）的证明吗？（提示：可用比较法、分析法、综合法、构造向量法等证明）问题2在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？（三）解惑悟道例1设a，b，a+b=1，求证；变式1(江苏高考)已知a，b，c，d为

16、实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.例2求函数的最大值；变式2求函数的最大值。例3若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值。变式3．若3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是(　　)A．[0，]B．[－，0]C．[－，]D．[－5,5]（四）精习通深1．设xy>0，则的最小值为________,2．2．函数f(x)＝＋的最大值为________．3．若x2＋4y2＝5.求x＋y的最大值及最大值点．4.已知2x2＋3y2≤6，求证课堂小结：三、评价反思