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《柯西不等式(4)柯西不等式的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、柯西不等式选讲柯西不等式的应用例1、已知实数abc,d满足d+b+c+d=3,6/24-2Z?2+3c2+6J2=5.试求g的最值解：由柯西不等式得，有（2沪+3用+6护）—2(/?+c+d『即2b2^3c2+6d2>(b+c-^d)2由条件可得，5-/纣3—盯解得，当且仅当宴=卑=翌时等号成立,代入b=l,c=l,d=丄时，3621h=l.c-—.d二一时33^max=2gin=1例2、在实数集内解方程•94-8x+6y-24y=39解：由柯西不等式，得)(-8)2+62+(-24『]n(_8兀+6),_24y)2)(-8)2+62+(-24)2]=
2、x(64+36+4xl44)=
3、392X(-8x+6y-24y)2=392.(r+/+z2)[(-8)2+62+(-24)2]=(-8x+6y-24z)即不等式①中只有等号成立.222x+y+zx2+y2+z2从而由柯西不等式中等号成立的条件，得—=-=^—86—246Q它与一8兀+6歹一24丁=39联立，可得x=——y=—132618z=13例仏设P是三角形ABC内的一点，忑是"到三边abc的距离，R是ABC外接圆的半径，证明冬+*+長5寸;rJdb"+F证明：由柯西不等式得,*+酝(*+販Ggax+by寸+丄+丄Vahc记S为ABC的面积，则姒+加+c“2S=2哎二吆2R47?2R诚"b+bc+ca=亠如+后石
4、§亠牯+十abc』2RyJ2R故不等式成立。例4、（证明恒等式）已知6/V1-b2+/?J1-G2=1,求HE：+/?2=1O证明：由柯西不等式，得djl"+弭1_/缶+（l_a2）［b2+（］“）］=］当且仅当/b=Jl_b・时,上式取等号,Vl-^2a/.ab=y/l-a2•^1-b2,a~b~=（1-tz2）（l-/?2）,于是a2+b2=io例5（证明不等式）设Q］>a2>...>an>an+［,求证・一^+—…+—-—+—-—>0•⑷一色°2一°3陽一％曲£+1一坷分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证:>1，111++…+⑷-a2a2-a3a
5、n-a^}证明：为了运用柯西不等式，我们将⑷-⑦丄写成”+1a_込+1=仏一勺）+（。2_们）+…+（d”_碍+1）于是［（。1一。2）+（。2-。3）+・・・+（心~an^）］*11+ax-a2a2-——+■••+a3an一①+1丿>n2>1.（⑷一昭）・•即V1•••+-at-a2a2111++…+%_勺a2-a3an-an+]）111—+…+>,a3仇一°讪⑷一色屮>1故亠+-L_d]—ci?6—Q3—^+―^〉0.an一d卄15+1~a我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证
6、题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。练习：1、已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+w=8,a2+/?24-c2+d2+e2=16,求£的取值范围.解：v4(a2+b，+c2+d2)=(1+1+1+1)(/+戸+/+沪)>(a+b+c+d)2即4(16-e2)>(8-e)~9即64-4e2>64-16^+^2・•・5^2-16^>0,®0<^<—2>已知正数a.b.c满足a+b+c=l、十e3133、+少+C?证明o+b十证明：利用柯西不等式（疋+沪+。2）2/3131aS。+b2b2+c2c7/32+门[d+b+c]=(/+戻+，)(°+/?+(
7、?)2(va+b+c=1)又因为a2+b2^c2>ab+bc^ca在此不等式两边同乘以2,再加上/+戸+。2得：(d+b+c)53(q2+c?)•・•(/+方2+c?)2+/?3+，)・3(/+b2+c2)M3,33a2+b2+c2故d+b+c>3fx+y+z=93、解方程组—=27,x2+vv2>—=1832两式相乘，得(x2+y2+?)>(x2+iv2)>486当且仅当x=y=z=
8、、v=3时取等号。故原方程组的解为x=y=z=>v=3・4、若耳是不小于2的正整数，试证：-<1一丄+丄+…+<—o证明:1111112342n-l72342/?-12n2丄=(]+—・•+丄)_2(丄+丄+•••+’)2n2342n242n12n所以求证式等价于-—由柯西不等式有(」一+—+72+1/?+27h+1n+22n2+—)[(«+1)+(/?+2)+---+2n]>/?22n111于是：1—I>h+1斤+22n(斤+1)+(斤+2)2n又由柯西
