例谈柯西不等式应用

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1、例谈柯西不等式的应用柯西不等式即：设两组实数及则，等号当且仅当（其中不全为零）时等号成立.新课程选修内容关于柯西不等式的考察一般属于中等难度的题目.柯西不等式的常见应用有以下三个方面：1.证明不等式例1.（2012年福建高考数学第21题第（3）小题）已知函数，.且的解集为.(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）若，且，求证：解：（Ⅰ）略.易得=1.（Ⅱ）由(Ⅰ)知又∵∴即例2．设是1,2，…，n的一个任意排列.证明：＞证明：由柯西不等式得≥即≥==＞=31.求多个参变量条件下的最大﹙小﹚值例3.设且.求的最小值解：由柯西不等式得22=≥即≥

2、当且仅当时取等号.例4.设实数满足=8.=16.求的最大值解：已知条件即==由柯西不等式得≥即解得时，的最大值“凑1”法是运用柯西不等式的常用技巧.2.利用柯西不等式求值例5.设均为实数.且=25，=36，=30.求的值解：由柯西不等式得=上述不等式等号成立，从而即所以，因此有=﹙等比的性质﹚3同学们从以上例子不难看到运用柯西不等式的关键是通过观察，联想，类比，构造出符合定理条件的不等式.练习：1.设是非负实数，已知.求的最大值.2.已知正实数是的一个排列，求的最小值.3.已知：。证明：4.已知.且。证明：5.设＞0.证明

3、：6.若＞0，且，求的最小值7.试确定最大的实数，使得实数满足答案：1.122.36.97.3