例谈柯西不等式在解题中的应用.pdf

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1、教学参谋解法探究2014年5月例谈柯西不等式在解题中的应用筅吉林省长春医学高等专科学校马艳慧柯西不等式尽管是新增内容，但是非常重要，在许134134综上，知原不等式的解集为≤5，≤∪∪，6∪.多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往2525能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．但众所周知，世评注：设向量a=（a1，a2，…，an），b=（b1，b2，…，bn），则上万物，均是有差异的，数学题也一样，要准确识别这些柯西不等式等号成立的充要条件是向量a与b共线，即当差异，准确抓住问题的个性化特征，提高学生的解决问b=0，或b≠0时，存在唯一实数k，使得

2、a=kb（特别地，当题的能力．所以我们要学好柯西不等式，必须先学好柯a1a2anb1，b2，…，bn都不为0时，该充要条件就是==…=；西不等式的基本应用，在有差异的数学题中，去发现它b1b2bn们的共性，找到解决问题的通法．下面举例说明其应用，当n=2时，该充要条件就是a1b2=a2b1）.期望对同学们的学习有所帮助．2二、运用柯西不等式巧求函数的最值柯西不等式：设a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn∈R，则（a1+222222a2+…+an）（b1+b2+…+bn）≥（a1b1+a2b2+…+anbn），当且仅当222例2已知x+2y+3z=2

3、8，x，y，z∈R，求x+y+z的最小bi=0（i=1，2，…，n）或存在一个数k，使得ai=kb（ii=1，2，…，值.n）时，该不等式的等号成立.解析：因为x+2y+3z=28，x，y，z∈R，它有两个重要推论：222222所以由柯西不等式可得（1+2+3）（x+y+z）≥（x+摇222摇222①姨a1+a2+…+an·姨b1+b2+…+bn≥

4、a1b1+a2b2+…+2y+3z）2=784.anbn

5、.∈xyz∈==，摇摇∈222222∈②姨a1+a2+…+an·姨b1+b2+…+bn≥

6、a1b1

7、+

8、a2b2

9、+…+当且仅当∈123即x=2，y=

10、4，z=6时，该不等∈∈∈

11、anbn

12、.∈x+2y+3z=28，柯西不等式是高中新课标教材人教A版数学《选修式的等号成立.2224-5》的新增内容之一，属不等式中的经典，不仅形式优所以当x=2，y=4，z=6时，（x+y+z）min=56.美，而且应用非常广泛，请看以下数例.评注：运用柯西不等式求函数的最值，务必注意考查不等式的等号能否成立.一、运用柯西不等式取“=”号的条件巧解摇摇例3求函数y=3姨x-1+4姨5-2x的最大值.不等式5解析：函数的定义域为≤1，∈.2摇摇例1解不等式3姨x-5+4姨6-x<5.摇摇摇5解析：一方面，要使原不等式两边的式

13、子有意义，则由柯西不等式可得y=3·姨x-1+4姨2·-x≤姨2x-5≥0，摇摇有姨解得5≤x≤6.［32+（4摇22］（摇x-12+5-x2=姨246.6-x≥0，姨姨）姨）≤∪姨2≤∈2摇摇另一方面，由柯西不等式可得3姨x-5+4姨6-x≤摇摇摇5109摇摇摇摇当且仅当4姨2×姨x-1=3×-x，即x=时，姨32+42·姨（姨x-5）2+（姨6-x）2=5.姨282摇摇134该不等式的等号成立.当且仅当4姨x-5=3姨6-x，即x=时，该不等式25摇109姨246所以当x=时，ymax=.的等号成立.82282高中版教学2014年5月解法探究参谋评注

14、：求解“例3”的关键是：适当变形，使平方和同时成立.摇摇5a1a2an111122++…++…++…+2（姨x-1）+姨-x姨为定值.所以△222姨△1+姨≥△1+姨.姨212n2n2na1a2an所以对一切大于1的正整数n，都有++…+三、运用柯西不等式巧证不等式1222n211例4设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为≥1++…+.2na，b，c，其外接圆半径为R.评注：求解“例5”的关键是：放缩法与柯西不等式的111222++2完善结合.求证：（a+b+c）△222△≥36R.sinAsinBsinC证明：由正弦定理知a=b=c=2R.四、巧

15、用柯西不等式求值sinAsinBsinC由柯西不等式可得：例6设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2+b2+c2=10，x2+（a2+b2+c）2△1+1+1△a+b+c2=22a+b+c222≥△△y+z=40，ax+by+cz=20，则=（）.sinAsinBsinCsinAsinBsinCx+y+z236R.1113A.B.C.D.π4324当且仅当asinA=bsinB=csinC，即A=B=C=时，该不3解析：由柯西不等式得（a222222+b+c）（x+y+z）≥（ax+等式的等号成立.22abcby+cz）=20，当且仅当===k（k>0

16、）时等号成立.2221+1+12xyz所以（a+b+c）△222△≥36R.si