例谈柯西不等式一个最简单变式的应用

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1、2012年第6期数学教育研究·41·例谈柯西不等式一个最简单变式的应用王淼生(福建省厦门市第一中学361000)我们知道柯西不等式在各级各类奥赛中占有特殊(n+6+c)的地位和作用，为不等式及相关问题的证明立下汗马a+b2+c。+3ab+3b~+3ca‘功劳．难怪奥赛专家感叹：一旦离开柯西不等式，无法因此本题只要证明：想象数学竞赛如何开展．柯西不等式在新课标中闪亮登场，为解决不等式的口+b+c+3ab+3bc+3c口≥，／÷4铮一n“+c2≥，／问题提供了一种新的方法和手段，恰当运用柯西不等n6+6c+cⅡ．这是显然的．式，对一些较高难度的不等式证明，尤其是奥赛试题立评注：

2、柯西不等式是新课标中的新增内容，是不等竿见影，其中柯西不等式的变式功能强大，本文试图通式内容的一个重要组成部分，是解决不等式问题，尤其过实例说明柯西不等式的一个最简单的变式的应用．是证明不等式的重要手段和工具．柯西不等式及变式nn具有明显的外形、独特的结构，因而使用方便、操作简若口、bi∈R(=1、2、⋯、)，贝0有n·6}≥单，故在高考及竞赛中被广泛使用．i1i1(I．：nb)。，这就是著名的柯西不等式，由此可以得到2关注特值铺路来使用变式i=1例3(2004年爱沙尼亚数学奥林匹克试题)若口柯西不等式的一个最简单的变式：若n，∈R、b∈R(一1、2、⋯、n)，贝0有+b+

3、c一3，试证：1+2ab+。1+2b+1+2ca~j1“．c~／≥．证明：注意到1=1。，由柯西不等式的变式可得i=11+2ab+。1+2b+’1+2≥3+2(ab+bc+≥ccac口)弭一1．1依糟外形结构采便用变式由上述论证过程，容易将本题推广到一般的情况：例1(第2届世界友谊杯数学竞赛试题)试证：若愚、口i∈R(一1、2、⋯、，z)，且∑口=，则有++≥学．证明：由柯西不等式变式可得++⋯+r+F≥++≥=土+km’a+b+c．．——令一3，一3，志一1就是2008年克罗地亚奥林匹2。评注：(1)将此题推广就得到第24届全苏数学奥克题：若口。+6+c。=3，则林匹克题

4、：若口∈R+(：1、2、⋯、)，且n：1，求南1+ab+’1+bc+。1+c口≥，／三2．’例4(第29届俄罗斯数学奥林匹克试题)若n+证：6+c一1，试证：口1-i-nz+熹n2十口3+．．．+口—1fi-a+n十al≥÷Z．++1(2)将本题拓展就得到1991年亚太地区数学奥林雨2+南+．匹克试题：若峨ER+、ER(：1、2、⋯、)，且口证明：注意到1一口+6+f，把分母中的1换成日+6+c，则原不等式等价于一，求证：∑≥÷·++1≥2+i=1例2(2004年克罗地亚数学奥林匹克试题)证2．2明：(口+6)+(6+c)’(c+口)+(6+f)丽十研+≥三舒++≥矸4+(

5、n+6)(口+c)’(6+c)(6+口)(c+口)(c+6)，／4．’证明：由柯西不等式的变式可得4．4(n+6)+(6+c)。(f+a)+(6+c)(口+6)(口+f)+。两(6+f)(6+口)+。两(f+口)(f+6)≥，／只需证雨1+1≥铮+≥·42·数学教育研究2012年第6期±：证明：设n一三，6一，c=三，则只要证明(6+c)+(c+a)。这正是柯西不等式的变式．评注：利用1—1等特殊数字来使得分子构成平嘉+南+南≥丢方的形式，向变式的外形结构靠近，以便于使用柯西不由柯西不等式的变式可得等式的变式，象这样的例子在奥赛中屡见不鲜，如：兰：上!_L．xy+z‘yz+

6、x。zx+y2002年女子数学奥林匹克竞赛试题：设P，P，⋯，P(≥2)是1，2，⋯，的任意一个排列，证明一—x3y+—zzx2+。Y。z莉+z十。—z3x+—yZzz一-⋯(。++)Pl+P2P2+P3。’P一2+P一l。P1+P＼，／。+j，++z。y+y。z+z。>．故只要证明干车菩丽≥导再如：第十五届全俄中学生数学竞赛十年级试题：∞2(。++)。≥3(zy+y+z。+X。+已知a+6+c≤3，求证：y。z+z。)．南F+1-$-Y+南雨≤号≤南r+十南+—l+—c．‘事实上，上式是恒成立的．因为由均值不等式可得事实上，本题还可以拓展为：z+十一+1若ai≥0(洋，i

7、，j=l，2，⋯，)，∑m≤，nEN，4-一±±兰：±：’4n≥2，则有++≥32。+y。z+z．(z+。Y)+(+2。)+(+z)≥2(+㈩耋≤号≤骞1；。+2。)．3(zy+。+z)一3(zy+y+2。z)．上述三式相加即可得证．例7(2004年罗马尼亚数学奥林匹克试题)若abcd-=1，试证：a(b+b(+d+d(3巧妙分拆凑项来使用变式+1)c+1)’c(+1)。a+1)；，～例5(2008年新加坡数学奥林匹克试题)若a、证明：设n一三W，6一上x，c=÷V，d一，则原不等式卢∈(o专)，证明：等价于7C+