柯西不等式求最值.doc

《柯西不等式求最值.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、柯西不等式求最值1.设a、b、c为正数，求的最小值【答案】1212.设x，y，zÎR，且满足x2+y2+z2=5，则x+2y+3z之最大值为　　　　　解(x+2y+3z)2£(x2+y2+z2)(12+22+32)=5．14=70∴　x+2y+3z最大值为3.设x，y，zÎR，若x2+y2+z2=4，则x-2y+2z之最小值为　　　　　时，(x，y，z)=　　　　　解(x-2y+2z)2£(x2+y2+z2)[12+(-2)2+22]=4．9=36∴　x-2y+2z最小值为-6，公式法求(x，y，z)此时∴　，，4.设，，试求的最大值M与最小值m。答：根据柯西不等式即而

2、有故的最大值为15，最小值为–15。5.设，试求之最小值即将代入其中，得而有故之最小值为4。变形：.设x，y，zÎR，2x+2y+z+8=0，则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2之最小值为[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2£[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2]．(22+22+12)Þ　(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2³=96.设x,y,zR，若，则之最小值为________，又此时________　∴最小值　　　　　　∴　　　∴7.设a,b,c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。解：　　　∴，最小值为18等号

3、发生于故　　　∴　又∴8.设x,y,zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？答案：　　　　若又∴∴　∴9.设x，y，zÎR且，求x+y+z之最大值，最小值。Ans最大值7；最小值-3【解】∵　由柯西不等式知[42+()2+22]³　Þ　25´1³(x+y+z-2)2　Þ　5³

4、x+y+z-2

5、Þ　-5£x+y+z-2£5　∴　-3£x+y+z£7故x+y+z之最大值为7，最小值为-311.（2008南开）设为正数，且求的最小值.【答案】由柯西不等式12.如果，求的最大值.【答案】解：∴当且仅当时，取得最大值.注：也可用二元均值不等式13.（1）已知实数满足：，，试求的

6、最大值与最小值【答案】14.已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得≤故λ的取值范围是［,+∞).温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式≤λ恒成立,等价于()max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值.15.设、、为正数且各不相等。求证：【答案】因为、、为正数且各不相等，所以等号不成立，所以有17.，求证：【答案】因为，18、为非负数，+=1，求证：【答案】19.（1）已知、是正常数，，求证：，并指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数的最小值，并指出取得最小值时的值．（1）[证明]

7、∵，∴，当且仅当，即时上式取等号.（2）[解]由（1）.当且仅当，即时，上式取等号.即..20.（1）（2002交大）若满足，求的值.证明：由柯西不等式，得当且仅当时，上式取等号，于是.另证1：因为当且仅当且，即且于是（2）解方程组解：原方程组可化为运用柯西不等式得,两式相乘，得当且仅当时取等号.故原方程组的解为.21.记，求证：【答案】分析：要证明，先得化简：于是，只需证明因此，只需分别证明以下两个不等式即可：（1)；（2).对于第一个不等式，与元Cauchy不等式作比较，只能把看成是Cauchy不等式右端的项，于是令，，就可以运用Cauchy不等式了.对于第二个不等

8、式，与元Cauchy不等式作比较，只能把看成是Cauchy不等式左端的项，于是令，，再次运用Cauchy不等式就可以了.证明：（1）在元Cauchy不等式中，令，，则有化简可得即又因为，代入上式，可得；（2）在元Cauchy不等式中，令，，则有化简可得又由于所以有综合（1），（2），有