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《13.柯西不等式的一个变式及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)柯西不等式的一个变式及其应用解决函数不等式问题的一个技法柯西不等式在课标中闪亮登场,为解决不等式问题提供了一种新的方法和手段,其中,柯西不等式的一个变式具有强大的解题功能,许多高考试题,甚至自主招生和数学竞赛试题,利用它可以获得极其简洁的证明.[母题结构]:(柯西不等式一个变式)若ai∈R,bi∈R+(i=1,2,…,n),则++…+≥,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=…=an:bn时成立.[母题
2、解析]:由柯西不等式:(b1+b2+…+bn)(++…+)≥(++…+)2=(a1+a2+…+an)2++…+≥,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=…=an:bn时成立.1.外形结构子题类型Ⅰ:(2013年课标Ⅱ高考试题)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(Ⅰ)ab+bc+ac≤;(Ⅱ)++≥1.[解析]:(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2caa2+b2+c2≥ab+bc+caa2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)(a+b+c)2≥3(ab
3、+bc+ca)1≥3(ab+bc+ca)ab+bc+ac≤;(Ⅱ)由++≥=(a+b+c)=1.[点评]:对于形如的一些式子的和,可直接使用柯西不等式的变式求其最小值或证明不等式,使用柯西不等式的变式可略去匹配系数的技巧.2.数值铺路子题类型Ⅱ:(2011年浙江高考试题)设正数x,y,z满足2x+2y+z=1.(Ⅰ)求3xy+yz+zx的最大值;(Ⅱ)证明:++≥.[解析]:(Ⅰ)由3xy+yz+zx=3xy+z(x+y)=3xy+(x+y)-2(x+y)2≤(x+y)2+(x+y)-2(x+y)2=-(x
4、+y-)2+≤,当且仅当x=y=z=时等号成立3xy+yz+zx的最大值=;(Ⅱ)由++=++≥=.[点评]:通过常数,并根据已知条件把待求式中的每一项都变为的形式,是使用柯西不等式的变式解决相关问题的基本技巧.3.整式变换子题类型Ⅲ:(2012年福建高考试题)已知函数f(x)=m-
5、x-2
6、,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)若a,b,c∈R,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.[解析]:(Ⅰ)由f(x)=m-
7、x-2
8、f(x+2)=m-
9、x
10、,所以,f(x+2)≥0
11、m-
12、x
13、≥0
14、x
15、≤m(m≥0)m=1;(Ⅱ)由++=1a+2b+3c=++≥=9.[点评]:利用x=,并根据已知条件把待求式中的每一项都变为的形式,是使用柯西不等式的变式解决有关整式问题的基本技巧.4.子题系列:1.(2009年浙江高考试题)已知正数x、y、z满足x+y+z=1.(Ⅰ)求证:++≥;(Ⅱ)求4x+4y+4的最小值.2.(2010年浙江高考试题)设正实数a,b,c满足abc≥1求++的最小值.3.(2015年福建高考试题)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=
16、x+a
17、+
18、x-b
19、+c
20、的最小值为4.(Ⅰ)求a+b+c的值;(Ⅱ)求a2+b2+c2的最小值.4.(2014年福建高考试题)已知定义在R上的函数f(x)=
21、x+1
22、+
23、x-2
24、的最小值为a.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.5.(2004年爱沙尼亚数学奥林匹克试题)若a2+b2+c2=3,试证:++≥1.6.(2008年南开大学保送生考试试题)设a、b、c为正数,且a+b+c=1,求(a+)2+(b+)2+(c+)2的最小值.5.子题详解:1.解:(Ⅰ)由++≥=(x+
25、y+z)=.(Ⅱ)由4x+4y+4≥3=3≥3,当且仅当x=y=,z=时等号成立4x+4y+4的最小值为3.2.解:由++≥=≥≥1,当且仅当a=b=c=1时等号成立++的最小值=1.3.解:(Ⅰ)由f(x)=
26、x+a
27、+
28、x-b
29、+c≥
30、(x+a)-(x-b)
31、+c=a+b+c,当且仅当-a≤x≤b时等号成立a+b+c=4;(Ⅱ)由a2+b2+c2≥=,当且仅当a:b:c=2:3:1,即a=,b=,c=时等号成立最小值为.4.解:(Ⅰ)由f(x)=
32、x+1
33、+
34、x-2
35、≥
36、(x+1)-(x-2)
37、=3,当
38、且仅当-1≤x≤2时等号成立a=3;(Ⅱ)由p+q+r=3p2+q2+r2≥=3.5.解:由++≥=≥=1.6.解:由(a+)2+(b+)2+(c+)2]≥[(a+)+(b+)+(c+)]2=(1+++)2≥[1+]2=,等号当且仅a=b=c=时成立(a+)2+(b+)2+(c+)2的最小值=.
