柯西不等式的变式及应用

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1、·辅教导学·数学通讯——2O13年第3期(上半月)7柯西不等式的变式及应用聂文喜(湖北省广水市第一中学，432700)人教A版《选修4—5》“不等式选讲”第41页解利用前面介绍的结论可得：+习题3．2第6题：设1，z2，⋯，z∈R’r，且X1+z2+⋯+z一≥去孚一9，当且仅当丢一吾时等号成立，，她禹+禹⋯矗≥．故选(C)．例2(2OLO年四川卷理)设口>b>c>0，由于学生刚学习了柯西不等式，因此，很自然则一2n。+1+一lO口+25c。的最小值地想到用柯西不等式证明，但大多数学生不知道如何将不等式的左边化为柯西不等式的形式，由为()于不等式左边

2、的分母和为定值(1+z。+1+z。+(A)2．(B)4．⋯+1+z一+1)，联想到求分式型不等式最值(2(D)5．的一个常见方法：乘“1”法，便可打开思维大门．解—n。+∞／+n口圭一D+(n一5c)。证明+惫+．．．+惫≥抖+≥抖一·c+⋯·=口+击≥4，[(1+z。)+(1+z2)+⋯+(1+z2)]当且仅当口一5f，1一，=，即≥鲁’+高+．．·∞口口一D口一口一2b一5c=时等号成立．+_．)√1+z故选(B)．1．——一’例3已知n，6，c>o，且n+26+f一1，则故原不等式成立．+1十1的最小值是采用类似的方法，可以证明如下更一般的解

3、利用前面介绍的结论可得结论．结论若t>0，Y>0，i一1，2，⋯，，则1口十百1O十1C=芸口+厶o+C生+三呈+⋯+xA≥!，≥■一6+4，当且仅当一X2⋯一时等号成立．1，01YzY一当且仅当=一i，即n—c一时等这个结论可以看作是柯西不等式的一个变式，下面介绍它在四个方面的应用．号成立．一二、证明不等式、求最值例1(20l1年重庆卷理)已知Ⅱ>0，b>0，例4(2012年福建卷理21(3))已知函数厂()一m—lz一2l，m∈R，且f(x+2)≥0的日+b一2，则一+77的最小值为()解集为[一1，1]．(I)求的值；(A)÷．(B)4．(1

4、1)若n，b，c∈，且丢++一，求(c)．(D)5．证：n+2b+3c≥9．8数学通讯——2O13年第3期(上半月)·辅教导学·解(I)因为f(x+2)一m—Ixl≥0，所以1)(>一1)．1XI≤m，所以m>0，一m≤z≤Wt，而f(x+2)(1)求厂()的单调区间；≥0的解集为[一1，1]，所以irYt一1．(2)证明：当>m>0时，(1+n)<(1+m)”；(II)利用前面介绍的结论可得1一一1+1+(3)证明：当n>2012，且z1，2，⋯，∈R+，3c，／口+26+等3c一口+26+3c，’故口“+2b+3c≥，／1+2+⋯+z一1时，c

5、+⋯{9．例5(2010年浙江高考白选模块第3题)设正实数口，b，c满足口bc≥1，求+52+>志)壶·证明(1)、(2)略．—的最小值．(3)由前面介绍的结论可得X{．z；。．z：解因为n，b，c是正实数，所以一-t-●●●—一1+z1’1十X2’。1+z+2_+≥(1+X2+⋯+X)。口+2b‘b+2c’C-+-2a1+Xl+1+X2+⋯+1十X≥(n+b+c)1一’半≥≥1，又，z>2012，由(2)的结果可知(1+)<(1+2012)，当且仅当n=b—c=1时，等号成立，即(1+)告<(1+2012)2-o~，所以++的最小值为1．IP(-

6、n~1)告>()，例6(2011年浙江高考自选模块第3题)设正数z，Y，z满足2z+2+z=1．+惫+．．．+)告(1)求3xy十yz+盟的最大值；>()>()，(2)南i十V+1十vz+1十搿≥O．故原不等式成立．解(1)利用条件，在待求式中消去z，得例8(华中师大一附中2012届高中毕业生3xy+yz+一3xy+(z+)一2(x+3，)五月适应性考试理22(3))若n≥0，b≥0，C≥0，≤÷(z+y)十(+)一2(+y)。且口+b+c一1，证明：一一丢[(z十)一号]+÷，南1+口。+‘1+b。+‘南1+c。≤旦10．‘当X—Y—z一喜时，3

7、xy+yz+取得最证明南++南大值为÷．_鲁-+‘n1十n)。．可8十b1+6)(2)由(1)知3xy+yz+Z．X≤÷，可将不等式左边变形后利用前面介绍的结论得+南≤a十b1+xy1+yz’1+一：上9‘3933+3xy。1+yz’1+搿一!上上、(3十1+1)6口+8‘6b+8。，／(3+3xy)+(1+yz)+(1+zr)9口+12～12．96+12—12．9c+12—1225、125—6n+8。66十8‘6c+8一5~(3xy~—yz~zx)’一旦故原不等式得证．一三2_一6(‘+丽寺十)例7(武汉市2012年高考答题适应性训练96(1+1

8、+1)。理科第22题)没函数-厂(z)一z一(z+1)ln(x+23a+4+3b+4+3c+4·辅教导学·数学通讯——2O