柯西不等式及应用

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1、武胜中学高2009级培优讲座柯西不等式及应用武胜中学周迎新柯西不等式：设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…an2）（b12+b22+…bn2）等号当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取到。注：二维柯西不等式：（一）、柯西不等式的证明柯西不等式有多种证明方法，你能怎么吗？证法一：判别式法：令f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+（anx+bn）2=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1b1+

2、a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2)∵f(x)≥0∴　△≤0即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+an2)(b12＋b22+…+bn2)等号仅当ai=λbi时取到。证法二：（二）、柯西不等式的应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。1．证明不等式利用

3、柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，-5-武胜中学高2009级培优讲座（1）巧拆常数：例1：设、、为正数且各不相等。求证：分析∵、、均为正∴为证结论正确只需证：而又（2）重新安排某些项的次序：例2：、为非负数，+=1，求证：分析：不等号左边为两个二项式积，，每个两项式可以使柯西不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。（3）改变结构：例3、若>>求证：分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构

4、后便可使用柯西不等式了∴∴结论改为-5-武胜中学高2009级培优讲座（4）添项：例4：求证：分析：左端变形∴只需证此式即可1．求最值利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。例5已知a、b、c∈R+且a+b+c=1，求的最大值。例6求的最小值。3、在几何上的应用例7、三角形三边a、b、c对应的高为ha、、hb、hc、r为此三角形内切圆半径。若ha、+hb+hc=9r，试判断此三角形的形状。-5-武胜中学高2009级培优讲座例8、△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：

5、由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。故原不等式获证。以上几例以看出，柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。练习：1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证：2设求证：（1984年全国高中数学联赛题）3.已知实数满足，试求的最值4.设a、b、c>0且acos2θ+bsin2θ

6、9级培优讲座柯西不等式一.公式基本结构设ai、bi∈R，（i＝1，2，3……，n）（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≦（a12+a22+a32+…+an2）(b12+b22+b32+…+bn2)当且仅当bi＝kai（i＝1，2，……，n）时，k为常数时等号成立二阶形式（a1b1+a2b2）2≦（a12+a22）(b12+b22)三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≦（a12+a22+a32）(b12+b22+b32)二．证明先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明）构造f(x)

7、=（a12+a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12+b22+b32)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0△=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+a22+a32）(b12+b22+b32)对于任意的x∈R等式恒成立,∴△≤0，∴当且仅当时，取“=”-5-