柯西不等式及应用

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1、柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：，当且仅当时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；三、维形式的柯西不等式：设为实数，则，当且仅当或存在一个实数，使得时等号成立。四、二维形式的柯西不等式的向量形式：，当且仅当或存在实数，使时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知且，求证：.2、解方程（组）：解方程：.53、求最值（

2、范围）:若实数x，y，z满足，求的最小值.4、证明不等式:已知正数满足证明：.六、巩固练习：1.已知，则的最小值为　　　　.2.已知实数满足，，则的最大值为　　　　，最小值为　　　　.3．在实数集内方程组的解为　　　　.4.设rABC之三边长x，y，z满足及，则rABC的最大角的大小是　.5.设，则之最小值为　　　,此时　　　　.6.设=(1，0，-2)，=(x，y，z)，若，则的最大值为　　　　　.7.空间二向量，，已知，则的最大值为　,此时　　.8.设a、b、c为正数，则的最小值为　　　　.59.设x，y，zÎR，且满足，则之最大值为　　，此时(x，y，z)=　　　.　10.

3、设，，则的最大值为　　　　，最小值为　　　　.11.设，则之最小值为　　　　.12.，，则的最小值为　　，此时　　，　　，　　.13.设，，则之最小值为　.14.设，若，则之最小值为　，又此时　15.设且a+b+c=9，则之最小值为　　　　　.16.设，且，则之最小值为　，此时　.17.空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为，则的最小值为　.18.空间中一向量的方向角分别为，则的最小值为　.19.设，若，则之范围为　；又取最小值时，　20.设且，则之最大值为　，最小值为　.21.求的最大值与最小值.22.设、、为正数且各不相等。求证：.523.△ABC的三边长为a、b、c

4、，其外接圆半径为R，求证：24.已知满足,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.25.设且满足,,，求的值.26.若>>求证：.527.、为非负数，，求证：.28.是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明.29.已知，且a、b、c是正数，求证：.30.设，求证：.5