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1、2008年2月重庆文理学院学报(自然科学版)Feb1,2008第27卷第1期JournalofChongqingUniversityofArtsandSciences(NaturalScienceEdition)Vol127No11以柯西不等式为例谈中学数学中的不等式教学张荣(绵阳中学,四川绵阳621000)[摘要]以经典的柯西不等式为例,从不等式的证明、推广以及它们的一些应用,对在中学数学教学中的一些问题进行讨论.[关键词]柯西不等式;赫尔德不等式;不等式教学[中图分类号]O122.3[文献标识码]A[文章编号]1673-8012(2008)01-0097-04不等
2、式是一种应用广泛的技巧性工具,在初等数学和高等数学中都有重要的意义.特别是20世纪90年代,不等式的研究空前活跃,研究的深度和广度都在迅速扩大.柯西不等式是其中著名的不等式之一,在初等数学、微分方程和泛函分析等领域有重要的应用,关于柯西不等式的研究一直受到人们的关注.在中学数学教学中,不等式的教学一直是一个难点,学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重.本文以柯西不等式为例,从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳.1柯西不等式的证明我们知道,柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用,它在不同的领域有着不同的表现形式,对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数
3、学和高等数学中有着不菲的价值,它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧,因此,熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助.下面我们给出柯西不等式的基本形式,并列举几种典型的证明.nnn222b1b2bn(规设a1,a2,⋯,an及b1,b2,⋯,bn为任意实数,则∑aibi≤∑ai∑bi,当且仅当a=a=⋯=ai=1i=1i=112n定ai=0时,bi=0)时等号成立.[1]证法1(比值法)当ai及bi全为零时,不等式显然成立.不妨设ai,bi(i=1,2,3,⋯
4、,n)都不全为零.nnn222222aibiaibi12记A=a1+a2+⋯+an,B=b1+b2+⋯+bn,另外,ci=,di=,于是∑=∑cidi≤∑(ciABi=1ABi=1i=12nnn2)=1,从而有222b1b2bn+di∑aibi≤∑ai∑bi,当且仅当c1=d1,c2=d2,⋯,cn=dn,即a=a=⋯=a时i=1i=1i=112n等号成立.[2]αˆ·βˆ证法2(向量法)令αˆ=(a1,a2,⋯,an),βˆ=(b1,b2,⋯,bn),则对向量αˆ,βˆ,=cos(αˆ,βˆ)≤1,由αˆαˆ·βˆnnnnn2222222·βˆ=a1b1+a2b2+
5、⋯+anbn,αˆ=∑ai,βˆ=∑bi,得∑aibi≤∑ai∑bi.当且仅当cos(α,β)i=1i=1i=1i=1i=1=1,即αˆ,βˆ平行时等号成立.证法3(凹函数方法)222222令An=a1+a2+⋯+an,Bn=a1b1+a2b2+⋯+anbn,Cn=b1+b2+⋯+bn,且不妨假设a1>0,b1>0,由凹函数f(x)=lnx,有:222222aibiaibiaibi22+221+221+1ai1biAnCnaibi2AnCnaibi2AnCnln+ln≤lnZ≤lnZ≤.2An2Cn2AnCn2AnCn23[收稿日期]2007-11-08[作者简介]张
6、荣(1960-),女,四川绵阳人,中学高级教师.97nnnnaibi1121211b1b2bn于是∑11≤∑ai+∑bi=1Z∑aibi≤An2Cn2,等式成立的充要条件是==⋯=.i=1A2C22Ani=1Cni=1i=1a1a2annn不等式的证明方法很多,关于柯西不等式的证明我们已用到比值法、向量法、凹函数法;对于一般不等式的证明还有数形结合法、放缩法、数学归纳法等.教师应该在具体的教学实践中鼓励和引导学生综合运用以上方法解决有关不等式的问题.2柯西不等式的变形在实际应用中,常常运用的是推广的柯西不等式.这里我们给出3个常用的变形.nn22变形1ai∈R,有n∑
7、ai≥∑ai.i=1i=1n2n2∑ai+aii=1变形2ai,bi∈R,有∑≥n,等号成立的充分必要条件是ai=λbi(i=1,2,⋯,n).i=1bi∑bii=1nnn+ai2变形3ai,bi∈R,有∑aibi∑≥∑ai,等号成立的充分必要条件是b1=b2=⋯=bn.i=1i=1bii=13柯西不等式的推广许多学生对数学不等式证明的题型感到困难,其原因有以下几种:一是数学基础知识不扎实,二是识别数学模型和组织信息的能力训练不够,三是在思考和解决问题中缺乏理念、方向、方法和技能,四是在探索隐蔽模式显现化过程中缺乏必要的心理素质和技能.我们在求证数学
