柯西不等式 (2)

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1、柯西不等式（第一课时）【学习目标】1、掌握二维柯西不等式的两种形式和特征并理解三种证明方法（重点）2、灵活应用二维柯西不等式证明一些不等式和解决某些求最值问题（难点）【预备知识】1、向量的数量积α=a,b，β=c,d，α∙β=ac+bd2、向量共线的充要条件α=a,b与β=c,d共线↔ad-bc=03、两个不等式重要不等式:a2+b2≥2ab基本不等式：a>0,b>0,a+b2≥ab【教学过程】一、背景介绍1、柯西简介2、柯西不等式的发现与发展二、柯西不等式1、二维柯西不等式：对a,b,c,d，有当时，等号成立。变形：对a,b,c,d，有当时，等

2、号成立。向量形式：设向量α和β为平面内，则当，等号成立。1、证明（1）比较法：（2）向量法：（3）构造函数法证：设函数ft=a2+b2t2+2ac+bdt+(c2+d2)则ft=(at+c)2+(bt+d)2≥0，当a=0,b=0时，不等式a2+b2(c2+d2)≥(ac+bd)2显然成立；当a、b不全为0时，ft为关于t的二次函数且函数值恒大于0，则方程ft=0的判别式不能为正值，即有4(ac+bd)2-4a2+b2(c2+d2)≤0，所以a2+b2(c2+d2)≥(ac+bd)2。若上式取等号即4(ac+bd)2-4a2+b2c2+d2=0，

3、即(ad-bc)2=0,所以ad=bc，这时向量a,b和c,d共线。2、观察柯西不等式的特征及使用条件三、柯西不等式的应用例题1：用柯西不等式证明：若ab≠0，有a2+b2(1a2+1b2)≥4。变式1：用柯西不等式证明：若a>0,b>0，有(a+b)(1a+1b)≥4。变式2：若a>0,b>0，a+b=1，求1a+1b的最小值。例题2：已知a+b=1，求证a2+b2≥12。变式3：已知3x+4y=5，求证x2+y2≥1。四、归纳总结1、柯西不等式的两种形式及变形2、柯西不等式的证明方法、特征及使用条件五、作业1、若a>0,b>0，求(a+1b)

4、(2b+12a)的最小值。2、已知x24+y2=1,求x-y的最大值。