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《5.4.1柯西不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.4.1柯西不等式三维目标1.掌握柯西不等式的基本形式和特点，了解其相关背景知识.2.会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想.3.能用柯西不等式解决一些较简单的问题，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.教学重点与难点 重点：柯西不等式难点：柯西不等式的应用教学过程一、创设情境在上一节，我们用比较法证明了柯西不等式(a2＋b2)(c2+d2)≥(ac＋bd)2●有没有其它证法？二、学生活动构造函数法f(x)=(a2+b2)x2－2(ac+bd)x+(c2+d2)=(ax―c)
2、2+(bx―d)2≥0所以Δ＝4(ac+bd)2－4(a2+b2)(c2+d2)≤0●看着柯西不等式(a2＋b2)(c2+d2)≥(ac＋bd)2，你有何联想？数形结合设向量α＝(a,b)，β＝(c,d)，则
3、α
4、2＝a2＋b2，
5、β
6、2＝c2＋d2，α·β＝ac＋bd，从而
7、α
8、
9、β
10、≥
11、α·β
12、. 三、建构数学 定理1 设a,b,c,d均为实数，则(a2＋b2)(c2+d2)≥(ac＋bd)2其中等号当且仅当ad＝bc时成立.说明：这一形式通常称为柯西不等式的代数形式. 定理2 设α，β为平面上的两
13、个向量，则
14、α
15、
16、β
17、≥
18、α·β
19、其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立. 定理3(三角形不等式) 设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？点P2(x2,y2)在线段P1P3上，其中P1(x1,y1),,P3(x3,y3). 定理4 设n是大于1的自然数，ai,bi(i＝1,2,3,…,n)为任意实数，则，其中等号当且仅当时成立(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2,3,…,n).3 推论 在n个实数a1,a2,…,an的和为定值S时，它们的平
20、方和不小于，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，平方和取最小值.四、数学运用例1 已知a2+b2=1,x2+y2=1，求证：
21、ax+by
22、≤1.证明：由柯西不等式得(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)＝1，所以
23、ax+by
24、≤1.例2 设a,b,c,d∈R，证明：分析：⇔⇔⇔例3 设α,β,γ为平面上的向量，则
25、α－β
26、+
27、β－γ
28、≥
29、α－γ
30、.证：设α＝(x1,y1),β＝(x2,y2),γ＝(x3,y3)，则α－β＝(x1－x2,y1－y2),β－γ＝(x2―x3,y2―y3),α－γ＝(x1―x3
31、,y1―y3),从而
32、α－β
33、＝
34、β－γ
35、＝
36、α－γ
37、＝根据三角形不等式，即得
38、α－β
39、+
40、β－γ
41、≥
42、α－γ
43、.例4 已知三个正数a,b,c的和是1，求证：这三个正数的倒数和不小于9.证 由a,b,c是正数及柯西不等式有因为a+b+c＝1,所以3例5 已知a1,a2,…,an为实数，求证：.分析：证明： 其中等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立.四、总结提炼数学思想方法：等价转化，综合法、分析法、比较法、反证法、构造函数法五、作业：P34 习题5.4 1、2、3、4、5教学后记3
