33柯西不等式

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1、江苏省2014届一轮复习数学试题选编34：不等式选讲一、解答题．已知为正数,且满足,求证:.【答案】D.由柯西不等式,得．已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=+-1==因边a+b=2,所以左边-右边=因为a,b都是正实数,所以ab≤=1所以,左边-右边≥0,即+≥1方法二:由柯西不等式,得(+)[(2+()2]≥(a+b)2因为a+b=2,所以上式即为(+)×4≥4.即+≥1．已知

2、x+1

3、+

4、x-l

5、<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2

6、a+b

7、<

8、4+ab

9、.【答案】．已知

10、,,都是正数,且,求的最大值.7【答案】．设正数a，b，c满足，求的最小值．【答案】【解】因为a，b，c均为正数，且，所以．于是，当且仅当时，等号成立．………………………………………8分即，故的最小值为1．………10分．解不等式:【答案】【命题立意】本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类谈论、运算求解能力.【解析】原不等式可化为;或,解得.所以原不等式的解集是.．已知a,b是正数,求证:a2+4b2+≥4.【答案】已知a,b是正数,求证:a2+4b2+≥4.证明:因为a,b是正数,所以a2+4b2≥4ab所以a2+4b2+≥4ab+≥2=

11、4.即a2+4b2+≥4．已知实数x,y满足:求证:.【答案】证明:∵,7由题设∴.∴.．已知且,求的最大值.【答案】解:∴,且,即,,∴,当且仅当时,等号成立．设正数a,b,c满足,求的最小值.【答案】【解】因为a,b,c均为正数,且,所以.于是,当且仅当时,等号成立即,故的最小值为1．已知实数满足求的最小值.【答案】由柯西不等式,,因为,所以,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为．已知,,,都是正数,且,求证:.【答案】7．已知>0,求证:【答案】本题主要考察利用比较法证明不等式,考察推理论证能力.证明:∵又∵>0,∴>0,,∴∴∴．设函数

12、.(1)当时,求函数的定义域;(2)若函数的定义域为R,试求的取值范围.【答案】解:(1)由题设知:,如图,在同一坐标系中作出函数和的图象(如图所示),知定义域为(2)由题设知,当时,恒有,7即由(1),∴[必做题]．已知实数满足,求的最小值;【答案】解:由柯西不等式可知:故,当且仅当,即:取得最小值为．【答案】D.解:∵(x+2y+2z)2£(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,当且仅当时取等号,

13、a-1

14、³3,解得a³4,或a£-2．已知函数().(Ⅰ)当时,已知,求的取值范围;(Ⅱ)若的解集为或,求的值.【答案】．解不等式x

15、x-4

16、

17、-3<0.【答案】7解原不等式等价于或解得或即4≤x<2+或3

18、x<1或3

19、答案】D证:,,又．设都是正数,且=1,求证:.【答案】解:因为是正数,所以同理,将上述不等式两边相乘,得,因为,所以7