33 柯西积分公式

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1、第三节柯西积分公式一、解析函数的柯西积分公式二、解析函数的任意阶可导性与莫勒拉定理三、柯西不等式与刘维尔定理四、调和函数一、解析函数的柯西积分公式1.问题的提出根据多连通区域上的柯西积分定理得该积分值不随闭曲线C的变化而改变。如何求这个值？2.柯西积分公式引理3.3.1证根据多连通区域上的柯西积分定理得定理3.3.1(柯西积分公式)证Cauchy关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在L内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的

2、一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.例1解由柯西积分公式例2解例3解例3解例3解根据多连通区域上的柯西积分定理得例4解根据柯西积分公式知,比较两式得二、解析函数的任意阶可导性和莫勒拉定理1.问题的提出问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?定理3.3.2证2.解析函数的任意

3、阶导数根据导数的定义,从柯西积分公式得推论3.3.1证注例5解例6解例7解定理3.3.3(莫勒拉(Morera)定理)证3.莫勒拉定理Morera三、柯西不等式与刘维尔定理1.整函数定义3.3.1如：2.柯西不等式定理3.3.4(柯西不等式)证3.刘维尔定理定理3.3.5(刘维尔定理)证Liouville例8解例9解四、调和函数1.调和函数定义3.3.2调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.Laplace2.解析函数与调和函数的关系3.共轭调和函数区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.定理3.3

4、.64.共轭调和函数的求法－偏积分法如果已知一个调和函数u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.例10解解例11得一个解析函数这个函数可以化为例12解所求解析函数为Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,FranceDied:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料18July1856(Novara)--8February1909(Turin,aged52),Italian,

5、UniversityofTurin)(Engineeringdegree,1878)(Mathematicsdegree,1879),Morera’stheorem,Morerastressfunction24March1809(SaintOmer)--8September1882(Paris,aged73),FrenchLiouvilleworkedinanumberofdifferentfieldsinmathematics,includingNumbertheory,Complexanalysis,Differen

6、tialgeometryandtopology,Mathematicalphysiccsandastonomy.拉普拉斯资料Pierre-SimonLaplaceBorn:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,FranceDied:5March1827inParis,France