柯西积分公式及其推广论文

柯西积分公式及其推广论文

ID:37932134

大小:24.50 KB

页数:9页

时间:2019-06-03

柯西积分公式及其推广论文_第1页
柯西积分公式及其推广论文_第2页
柯西积分公式及其推广论文_第3页
柯西积分公式及其推广论文_第4页
柯西积分公式及其推广论文_第5页
资源描述:

《柯西积分公式及其推广论文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、柯西积分公式及其推广论文柯西积分公式及其推广摘要:学复变以来,一直比较困惑于柯西积分定理、柯西积分公式及留数定理等三个问题的界线,同时也对于积分何时为零何时不为零的条件很模糊。本文主要是归纳了有关这三个问题之间的一些关系及推导过程。同时也得柯西积分公式进行了推导,并举例其应用。关键词:柯西积分定理,柯西积分公式,留数定理,柯西积分公式的推广目录论文封面1摘要2对柯西积分的认识4一柯西积分定理与柯西积分公式5二留数定理及其与柯西积分公式的关系71.留数定理72.留数的求法83.留数定理与柯西积分公式的关系9三柯西积分公式的推广101.高阶导数102

2、.处的柯西积分公式103.复连通区域中的柯西公式114.z在积分路径C上的柯西积分公式11四柯西积分公式的计算应用12五参考文献16对柯西积分公式的认识柯西积分公式是一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,也可以说是解析函数的积分表达式,柯西积分定理和柯西积分公式复变函数的基本定理和基本公式,因而成为了研究解析函数各种局部性质的重要工具。首先,柯西积分定理与复交函数的积分有着密切的联系,为了能更好的对柯西积分公式应用和推广,通过留数定理与复变函数的积分之间的关系,有以下的结论:柯西积分定理实际上是被积函数在积分区域内为解析函数的留数定理;柯西积

3、分公式实际上是被积函数在积分区域内有一阶极点的留数定理;高阶导数公式实际上是被积函数在积分区域内有n+l阶点的留数定理。本文归简单给出柯西积分定理与柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理之间的推导关系。其次,从复积分求解出发,柯西积分定理只回答了解析函数沿闭域内任意一周线的积分值为零的问题,并由此导出了著名的柯西积分公式,即解析函数在C所围的区域内任一点z的函数值均可由在C上的积分值完全确定,这也只给出了求解光滑周线域内有一个或有限个奇点的复积分方法,而复积分的范围很大,有很多问题都超出了柯西积分定理的条件,因此本文对柯西积分的推广作了一个归纳。一

4、柯西积定理与柯西积分公式1.柯西积分定理我们知道,积分值与路径有关或无关的问题,实质上就是函数沿区域任何闭曲线的积分值是否为零的问题.1825年,柯西肯定地回答了上述问题,得到了著名的柯西积分定理[1].柯西积分定理是解析函数中最重要的基础定理,解析函数的很多重要性质,都是由这个定理派生出来的.在本文我们只需要知道相关的两个定理:定理1.(柯西积分定理)设函数在平面上的单连通区域上解析,为内任一条周线,则定理2.(复周线的柯西积分定理)设是复周线所围成的有界连通区域,函数在内解析,在上连续,则.或写成或写成柯西积分公式定理3(柯西积分公式)设区域

5、的边界是周线(或复周线),函数在内解析,在上连续,则有此式反映了解析函数值之间很强的内在联系:在曲线内任一点的值可以由在边界曲线上的值来决定,而实函数却不具有此性质.证明:复周线柯西积分定理又可写成任意固定,作为的函数在内除点外均解析.以点为心,充分小的(即为图一的)为半径做圆周,使及其内部均含于,对于复周线及函数应用复周线柯西积分定理得:而前面我们已经知道因此又根据的连续性知对,只要时,就有于是由的任意性即知,有()故有二.留数定理及其与柯西积分的关系1.留数定理留数理论是柯西积分理论的继续,留数定理把计算周线积分的整体问题,化为计算各孤立奇处

6、留数的局部问题。留数的定义:设函数以有限点为孤立奇点,即在点的某去心领域内解析,则称积分(,)为在点的留数,记为.定理4(留数定理)在周线或复周线所范围的区域内,除外解析,在闭域上除外连续,则(“大范围”积分)证明:在周线或复周线所范围的区域内,除外解析,在闭域上除外连续,以为心,充分小的正数为半径画圆周(),使这些圆周及其内部均含于,并且彼此互相隔离,应用复周线柯西积分定理得由留数的定义,有代入上式,即有故由柯西积分定理可以推得留数定理.2.留数的求法为了应用留数定理求周线积分,首先应该掌握求留数的方法.而计算在孤立奇点的留数时我们只关心其洛朗

7、展式中的这一项的系数,所以应用洛朗展式求留数是一般方法.定理5设为的一阶极点(只要及在点解析,且,,),则.定理6设为的阶极点,其中在点解析,,则这里代表且有3.留数定理与柯西积分的关系由留数定理可以推出柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式,过程如下:?若被积函数在积分回路内为解析函数,则在内无奇点,故被积函数的留数为零.由留数定理,有此式即为复变函数积分的柯西定理:单通区域内的解析函数内闭路的积分为零.?若被积函数在积分回路内有一阶极点,考察积分,其中为积分回路的内点,则是被积函数的一阶极点.由留数定理以及一阶极点留数的计算公式,有所以此式

8、即是复变函数积分的柯西公式.?若被积函数在积分回路内有阶极点,考察积分,其中为积分回路的内点,则是被积函数的阶极点.由留数定理以及阶极点

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。