柯西不等式的应用技巧教程

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1、柯西不等式的应用技巧及练习柯西不等式的一般形式是：设，则当且仅当或时等号成立．其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强．一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：，便是应用柯西不等式的一个主要技巧．例1　已知求的最小值．例２　设，求证：．二、巧拆常数运用柯西不等式的

2、关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．例３设、、为正数且各不相等，求证：.三、巧添项根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也是运用柯西不等式的解题技巧．例4求证：.四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的．例６　、为非负数，+=1，求证：4例７　设求证：例5.若a>b>c，求证：.练习题1.(2009年浙江省高考自选模块数学

3、试题)已知实数满足设(1)求的最小值；(2)当时，求的取值范围2(2010年浙江省第二次五校联考)已知，。ks5u(1)求的最小值；(2)求证：3(2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数满足：，求的最大值．4(浙江省镇海中学高考模拟试题)已知是正数，且求的最小值；45(金华十校2009年高考模拟考试)若，求证：6(2010年宁波市高三模拟测试卷)已知为正实数，且．证明：，并求等号成立时的值．7(浙江省镇海中学高考模拟试题)若且，求证：。8(2010年金华十校高考模拟考试)设正数x，y，z满足

4、求值．9(2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列的首项，(1)求的通项公式；(2)证明：对任意的410已知实数满足,试求的最值.11求函数的最大值.12求函数的极值，其中是常数.13已知为常数，当时，求函数的最大值与最小值.14已知对于满足等式的任意数，对恒有，求实数a的取值范围.15设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径,证明：.16求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的倍，即,其中为三角形三边长，S为三角形的面积.4