柯西不等式的变形公式的妙用

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1、柯西不等式晌丝形公式的她用湖北省襄阳市第一中学王勇龚俊峰441000柯西不等式具有对称和谐的结构，应用的关键在于抓住问题的结构特征，找准解题的正确方向，合理当且仅当一-．．．一卿一⋯地变形、巧妙地构造．作为新课程的选修内容，柯西不时取等号．等式(简记为“方和积不小于积和方”)在数学的多个领域都有着广泛的应用．课堂教学中，笔者与学生共下面分类例析，旨在探索题型规律，揭示解题同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用，方便快方法．捷、妙不可言，达到了化难为易、化繁为简、化陌生为1在代数中的妙用熟悉的目的．例1设n，b，C均为正数，且不

2、全相等，求证：柯西不等式的变形公式：设a，n，⋯，a为实++>．数，b，bz，⋯，为正数，则等+薏十⋯+筹≥证明：由柯西不等式的变形公式，得++一：一，04．b6+f。f+n2(a+6)。2(bq-一c)b1+62+⋯+当且仅当一薏一·一时取等号．l2。2(c+a)址明：田tⅡJ四个寺瓦，侍(2+2+2)0、2(n+6)+2(64-c)+2(f+0)((22十~t2+⋯+等)(64．b24．⋯+)4(a+6+f)()+(老)+．．·+(老)。][c，z一——a4"b4"c’+()4-⋯+()!]当且仅当一一，即6≥(。+老‘+

3、．．．+老。)—6+f：f+n，亦即a~b=c时，上述不等式取等号．一(口l十以2+⋯+甜)．。因题设a，b，c不全相等，于是9l_+赢9+·)．。bl，b2，⋯～b为正数，．．．bl4"b24-⋯+>O，0·．．鲁+譬+⋯+譬≥．>·．_．I◆分析：分离参数n，利用柯西不等式的变形公式点评：将十+变形为+把方程化为关于参数n的不等式，解不等式即可．十，为应用柯西不等式的变形公式创解析：由已知得，6+f+一3一口．2+3c2-6d一5一n．造了条件．本题注意阐明等号取不到的理由．由柯西不等式的变形公式，得例2若(z，b，cE(

4、0，1)，满足ab+bc+ca=1，求5-az=2b。+3c+6d一Tb2十Tc2十Td2++的最／J、值．百百解析：由柯西不等式的变形公式，得≥6+升’．—1_—L一_—L1一a1一b。1一c‘izl1I1．．5一n≥(3-a)，解得l≤＆≤2．1一。1一厅’1一f‘．．n的取值范围为[1，2]．≥导例4已知-z，，∈R+，求证：+9+z百33一(n+6+C)‘·而n+6+c≥+bc+cn，证明：令-T++—，则‘．．n2+b2+c+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)，x~x+2yy+z+x+yz+一2z一生t+

5、x+2z+v十znO(口+6+f)z≥3×1，亦即日+6+c≥．·上9_t十Y+案t十2．‘．。——+十+十≥-3"-(a+b+c)≥1-a-3一一s⋯(+南+)．3(3+43)一————一’由柯西不等式的变形公式，得当且仅当一6一c一每时，上述几个不等式同时+南+=+焉+取等号．～(1+1+1)一9干F而干(￡+)一4t’·．一．上1+—l_+l_的最小值为旦一n1—6。1一C2·上．。．‘2x+y+z+Ii+上2y+z+。+y+2z≤3一￡‘4tz点评：将++变形为12+123一93_一．+}是求解的基础．后续所用到的n+

6、6。+c≥“6点评：本题先用换元法将所证不等式的左边进行+6c+及(n+6+c)≥3(a6++∞)是常用的重变形，为下一步活用柯西不等式的变形公式奠基．本要结论，应切实掌握．题有一定的难度，极富思考性和挑战性．例3已知实数n，b，C，d满足，“++c+一3，2在三角中的妙用a+2bz+3c+6d。一5，试求n的取值范围．例5若口，』9，y均为锐角，且满足COSd+co十●COS。y一1，-t-smTsma，求证：cOtZa十c。+cot2号．一0％sirasisirCsin),+sinysir~≤1，故所证不等式成立．证明：要

7、证cot2a+c。t+c。t2号，点评：本题将+巫sin?,+变形为蔷只需证冬+嚣+，≥导，++是破解问题的突破口，辅之重要++sin口slsinJy≥号Z，结论口+6+f2~ab+bc+ca的应用，可实现第二次放缩而得证．靴+十南≥詈．由cosg-~-cos／~-}-COS)，一1易得sina+sin。口+例7已知a，均为锐角，且寒+一1，：求sin2)，一2．证：+卢一号．由柯西不等式的变形公式，得证明：由柯西不等式的变形公式，得44++南++—COSot4-sina一(cos口)l(sin2)＼———sin2fl。c0s

8、。卢～sin2fl’／、(1+1+1)。9~-sin2a+sin2fl+sin27-2‘(COSa+sin~a)sin+cos0’．．原不等式成立．上式岢矾~兀贾尔什足COS20t一sinea点评：本题联袂使用切割化弦法、分析法及柯西，不等式的变形公式等方可圆满解决．注意到a