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时间:2019-06-01
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1、柯西不等式晌丝形公式的她用湖北省襄阳市第一中学王勇龚俊峰441000柯西不等式具有对称和谐的结构,应用的关键在于抓住问题的结构特征,找准解题的正确方向,合理当且仅当一-...一卿一⋯地变形、巧妙地构造.作为新课程的选修内容,柯西不时取等号.等式(简记为“方和积不小于积和方”)在数学的多个领域都有着广泛的应用.课堂教学中,笔者与学生共下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用,方便快方法.捷、妙不可言,达到了化难为易、化繁为简、化陌生为1在代数中的妙用熟悉的目的.例1设n,b,C均为正数,且不
2、全相等,求证:柯西不等式的变形公式:设a,n,⋯,a为实++>.数,b,bz,⋯,为正数,则等+薏十⋯+筹≥证明:由柯西不等式的变形公式,得++一:一,04.b6+f。f+n2(a+6)。2(bq-一c)b1+62+⋯+当且仅当一薏一·一时取等号.l2。2(c+a)址明:田tⅡJ四个寺瓦,侍(2+2+2)0、2(n+6)+2(64-c)+2(f+0)((22十~t2+⋯+等)(64.b24.⋯+)4(a+6+f)()+(老)+..·+(老)。][c,z一——a4"b4"c’+()4-⋯+()!]当且仅当一一,即6≥(。+老‘+
3、...+老。)—6+f:f+n,亦即a~b=c时,上述不等式取等号.一(口l十以2+⋯+甜).。因题设a,b,c不全相等,于是9l_+赢9+·).。bl,b2,⋯~b为正数,...bl4"b24-⋯+>O,0·..鲁+譬+⋯+譬≥.>·._.I◆分析:分离参数n,利用柯西不等式的变形公式点评:将十+变形为+把方程化为关于参数n的不等式,解不等式即可.十,为应用柯西不等式的变形公式创解析:由已知得,6+f+一3一口.2+3c2-6d一5一n.造了条件.本题注意阐明等号取不到的理由.由柯西不等式的变形公式,得例2若(z,b,cE(
4、0,1),满足ab+bc+ca=1,求5-az=2b。+3c+6d一Tb2十Tc2十Td2++的最/J、值.百百解析:由柯西不等式的变形公式,得≥6+升’.—1_—L一_—L1一a1一b。1一c‘izl1I1..5一n≥(3-a),解得l≤&≤2.1一。1一厅’1一f‘..n的取值范围为[1,2].≥导例4已知-z,,∈R+,求证:+9+z百33一(n+6+C)‘·而n+6+c≥+bc+cn,证明:令-T++—,则‘..n2+b2+c+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),x~x+2yy+z+x+yz+一2z一生t+
5、x+2z+v十znO(口+6+f)z≥3×1,亦即日+6+c≥.·上9_t十Y+案t十2.‘.。——+十+十≥-3"-(a+b+c)≥1-a-3一一s⋯(+南+).3(3+43)一————一’由柯西不等式的变形公式,得当且仅当一6一c一每时,上述几个不等式同时+南+=+焉+取等号.~(1+1+1)一9干F而干(£+)一4t’·.一.上1+—l_+l_的最小值为旦一n1—6。1一C2·上.。.‘2x+y+z+Ii+上2y+z+。+y+2z≤3一£‘4tz点评:将++变形为12+123一93_一.+}是求解的基础.后续所用到的n+
6、6。+c≥“6点评:本题先用换元法将所证不等式的左边进行+6c+及(n+6+c)≥3(a6++∞)是常用的重变形,为下一步活用柯西不等式的变形公式奠基.本要结论,应切实掌握.题有一定的难度,极富思考性和挑战性.例3已知实数n,b,C,d满足,“++c+一3,2在三角中的妙用a+2bz+3c+6d。一5,试求n的取值范围.例5若口,』9,y均为锐角,且满足COSd+co十●COS。y一1,-t-smTsma,求证:cOtZa十c。+cot2号.一0%sirasisirCsin),+sinysir~≤1,故所证不等式成立.证明:要
7、证cot2a+c。t+c。t2号,点评:本题将+巫sin?,+变形为蔷只需证冬+嚣+,≥导,++是破解问题的突破口,辅之重要++sin口slsinJy≥号Z,结论口+6+f2~ab+bc+ca的应用,可实现第二次放缩而得证.靴+十南≥詈.由cosg-~-cos/~-}-COS),一1易得sina+sin。口+例7已知a,均为锐角,且寒+一1,:求sin2),一2.证:+卢一号.由柯西不等式的变形公式,得证明:由柯西不等式的变形公式,得44++南++—COSot4-sina一(cos口)l(sin2)\———sin2fl。c0s
8、。卢~sin2fl’/、(1+1+1)。9~-sin2a+sin2fl+sin27-2‘(COSa+sin~a)sin+cos0’..原不等式成立.上式岢矾~兀贾尔什足COS20t一sinea点评:本题联袂使用切割化弦法、分析法及柯西,不等式的变形公式等方可圆满解决.注意到a
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