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1、摘要：柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它在不同的领域里有着不同的表现形式，在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，其证明的思维方式灵活多样•虽然它在各个分支的表现形式不同，但各种形式相互渗透着内在的联系，它们间的相互转化显示出数学内部结构的和谐美和统一美•本文归纳总结了它的几种类型，列举了它在初等代数研究、数学分析、高等代数、复变和概率论中的一些形式，证明方法和应用，所有这些都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.关键词：柯西不等式，证明，联系，应用Abstract:.CauchyInequa
2、lityinmathematicsisaveryimportantinequality,whichindifferentfieldshasdifferentforms•CauchyInequalityhasanextremelywiderangeofapplicationsineverybranchofmathematicsandproving.Ithasmanybranchesofdifferentforms,butallformsofinfiltrationofintrinsiclinkshowsthehar
3、monyandbeautyofmathematics.Thisarticlesummarizesitsseveraltypes,proofsandapplicationsintheElementaryAlgebraresearch,mathematicalanalysis,advancedalgebra,complexvariablesandprobabilitytheoryinsomeform,proofmethodsandapplications,allofwhichfullyembodythemathema
4、ticalconnectionofbetweenfields,penetrationanduniformity.Keywords:CauchyInequality,Proving,Contaction,Application目录1.引言2.柯西不等式的形式和证明2.1柯西不等式在初等代数研究中的形式和证明2.2柯西不等式在数学分析中的形式和证明2.3柯西不等式在高等代数中的形式和证明2.4柯西不等式在复变中的形式和证明2.5柯西不等式在概率论中的形式和证明3•柯西不等式每种形式间关系4.柯西不等式的应用总结参考文
5、献感谢1.引言柯西不等式是大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中“留数”问题时得到的，因而被命名为柯西不等式•柯西(Cauchy,1789-1857),法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易•弗朗索瓦•柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一肓担任公职.由于家庭的原因，柯西木人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒.他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人,他一牛一共著作了
6、789篇论文和几木书，以《分析教程》(1821年)和《关于定积分理论的报告》(1827年)最为著名.他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入的研究，并获得了许多重要成果，著名的柯西不等式就是其中之一,但从历史的角度看，该不等式应当命名为Cauch-Buniakowsky-Schwarz不等式.因为这一不等式是由后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，并应用到近乎完善的地步.2.柯西不等式的形式和证明2.何柯西不等式在初等代数研究中的形式gR,i=1,2…(如+丛+…+Q0J§(Q；+恋+…+口
7、：)2(舁+：；+•••+：卄当且仅当存在不全为零的常数k使b严ka,时，等号成立(i=l,2・・・〃)证这定理在a}=a2=•-=0或bx=b2==0时明显成立，所以在该证明中不妨设4，吆中至少有一个不为零，b也,…b“中也至少有一个不为零。构造实变量兀二次函数/(x)=(坷兀+勺尸+(a2x+$尸+…+(anx+bn)2=+d2~Hcit~+2(d
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