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1、8中等数学柯西不等式的证明与应用(上)罗增儒(陕西师范大学数学与信息科学学院,710062)(本讲适合高中)论证能力的提高.证明1:由1柯西不等式nnn222定理1对任意的两组实数a∑ai∑bi-∑aibi1,a2,⋯,i=1i=1i=1nnnnan和b1,b2,⋯,bn(n≥2),有22=∑ai∑bj-∑aibi∑ajbjnnni=1j=1i=1j=1222ab≤ab,nnnniiii∑∑∑22i=1i=1i=1=∑∑aibj-∑∑aibiajbj当且仅当ai=kbi(k为常数,i=1,2,⋯,n)i=1j=1i=1j=1nnnnnn时,上式等号成立.=1a22aibia
2、jbj+a22∑ibj-2∑∑∑∑jbi2i∑=1j=1i=1j=1i=1j=1此不等式称为柯西不等式.nn12222说明1:由于=∑aibj-2aibiajbj+ajbinnn2i∑=1j=122nn“∑ai=0,∑bi=0,∑aibi=0”12≥0,i=1i=1i=1=∑aibj-ajbi2i∑=1j=1情况之一出现时,不等式显然成立,因此,在nnn2下面的讨论中不妨设≤22得∑aibi∑ai∑bi.nnni=1i=1i=12≠2∑ai0,∑bi≠0,∑aibi≠0当且仅当aibj-ajbi=0(i、j=1,2,⋯,i=1i=1i=1都成立.n)Zai=kbi(k为常数
3、,i=1,2,⋯,n)时,上说明2:柯西不等式取等号的条件常常式等号成立.a1a2an说明:这是最具一般性的配方证法,只用写成比例形式==⋯=,并约定:分b1b2bn到非负数之和仍为非负数.如果加上一点方母为0时,相应的分子也为0.“等号成立”是程的知识,书写可以节省.柯西不等式应用的一个重要组成部分.n2说明3:使用柯西不等式的方便之处在证明2:当bi不全为0时,∑bi>0.构i=1于,对任意的两组实数都成立.这个不等式告造开口向上的二次函数诉我们n,任意两组实数2f(x)=∑(bix-ai)a1,a2,⋯,an,i=1nnnb1,b2,⋯,bn,222Zf(x)=∑bi
4、x-2∑aibix+∑ai.其对应项“相乘”之后“、求和”、再“平方”三种i=1i=1i=1运算不满足交换律,先各自平方,然后求和、由于f(x)≥0对一切x∈R恒成立,故最后相乘,运算的结果不会变小.其判别式nnn1.1n维柯西不等式的证明222≤0,本文提供Δ=4∑aibi-4∑ai∑bi5个证明,对柯西不等式作多i=1i=1i=1nnn维度的理解,希望通过证明本身获得不等式2≤22即∑aibi∑ai∑bi.i=1i=1i=1收稿日期:2008-07-162008年第11期9nn2当且仅当Δ=0Z方程∑(bix-ai)=0∑
5、aibi
6、i=1i=1nn有实数根x=kZai
7、=kbi(k为常数,i=1,2,22∑aj·∑bj⋯,n)时,上式等号成立.j=1j=1n2n2nn1aibi2≠0且≤+=1.证明3:对∑bi∑aibi≠0,由2∑n∑ni=1i=1i=1a2i=1b2∑j∑jnnj=1j=122aibinnn∑∑222i=1i=1故
8、a≤∑ibi
9、∑ai∑bi,更n2i=1i=1i=1∑aibi有i=1nnnn222a2b2∑aibi≤∑ai∑bi.ni∑jn2j=1bii=1i=1i=1=∑n2+∑n-1
10、ai
11、
12、bi
13、i=1ai=12当且仅当=,且所有的∑jbj∑bjnnj=1j=122aibin∑∑i=1i=122nai∑bj2a
14、j=1biibi同号Zai=kbi(k为常数,i=1,2,⋯,n)=∑n+n-1i=122时,上式等号成立.∑ajbj∑bjj=1j=1说明:此证法不依赖于字母组的个数,可n2aibi2y以立即作出推广,见定理2.≥2∑n-1用λx+≥2xyλi=1证明5:(1)当n=2时,有ajbj∑2222j=1(a1+a2)(b1+b2)=1,=(a221b1+a2b2)+(a1b2-a2b1)nnn22得a≤22≥(a1b1+a2b2).∑ibi∑ai∑bi.i=1i=1i=1当且仅当a1b2-a2b1=0,即ai=kbi(kna2为常数,i=1,2)时,上式等号成立.i∑bjj=
15、1biZa(2)假设当n=k时,命题成立.当且仅当n=i=nab2当n=k+1时,有∑jj∑bjj=1k+1k+1j=122kbi(k为常数,i=1,2,⋯,n)时,上式等号∑ai∑bii=1i=1成立.k2k22222nn=∑ai+ak+1∑bi+bk+122i=1i=1证明4:对ai≠0且bi≠0,设∑∑kk2i=1i=1≥22
16、ai
17、
18、bi
19、∑ai∑bi+
20、ak+1bk+1
21、(i=1i=1xi=n,yi=ni=1,2,⋯,n).k222∑aj∑bj≥∑
22、aibi
23、+
24、ak+1bk+1
25、j=1j=1i=11k+
