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1、葫芦岛市第一高中2004级高一数学竞赛辅导不等式的证明之柯西不等式一.知识要点:1.柯西不等式:(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)22.含参的柯西不等式:(λ12a12+λ22a22+…+λn2an2)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2利用柯西不等式可以证明数学竞赛中难度较大的分式不等式,只要恰当的选取参数λi,问题即可获证.二.例题:1.设ai,bi∈R+,(i=1,2,3,…,n),且满足a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn.求证:++…+≥
2、(a1+a2+…+an)（a1+a2+…+an)2=(·+·+…+·)2≤[()2+()2+…+()2]·[()2+()2+…+()2]≤(a1+b1+a2+b2+…+an+bn)·(++…+)=2(a1+a2+…+an)·()++…+∴++…+≥(a1+a2+…+an)例2.设a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=1.求证:++…+≥++…+≥等价于：++…+≥即：-1+-1+…+-1≥++…+-n≥++…+≥+n=(2n-1)·(++…+)=[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)]·(++…+)=[()2+
3、()2…+()2]·[()2+()2+…+()2]≥(·+·+…+·)2=2n2∴(2n-1)·(++…+)≥2n2∴++…+≥+n=例3.已知a1,a2,…,ak,…为互不相同的正整数,（1+++…+）·(++…+)≥(++…+)·(++…+)≥(·+·+…+·)2=(+++…+)2求证:对任何正整数n,不等式++…+≥+++…+成立.例4.设a,b,c为正实数,且满足abc=1,求证:++≥++=++2(ab+bc+ca)·(++)=[(ab+ac)+(ba+bc)+(ca+cb)]·(++)≥(·+·+·)2=(ab+bc+c
4、a)2∴++≥(ab+bc+ca)≥=4葫芦岛市第一高中2004级高一数学竞赛辅导例5.设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的正实数,求证:+++≥（a2+b2+c2+d2）2=(λ1·+λ2·+λ3·+λ4·)2≤(λ12+λ22+λ32+λ42)·(+++)令=即λ12=a(b+c+d),同理λ22=b(c+d+a),λ32=c(d+a+b),λ42=d(a+b+c)上式变为：（a2+b2+c2+d2）2≤(λ12+λ22+λ32+λ42)·（+++）而λ12+λ22+λ32+λ42=2ab+2ac+2ad+2bc+
5、2bd+2cd≤3(a2+b2+c2+d2）(均值不等式）∴（a2+b2+c2+d2）2≤3(a2+b2+c2+d2）·（+++）∴+++≥（a2+b2+c2+d2）≥（ab+bc+cd+da）=例6..已知a,b,c∈R+,求证:++≥练习:1.设，求证：2．设正数的和为1，求证：3．设，且，求证：4葫芦岛市第一高中2004级高一数学竞赛辅导4．设且，求证：5．若，且，求证：6．设正数，其和为，求证：7．若同号，且，求证：4葫芦岛市第一高中2004级高一数学竞赛辅导8．设，且，求证：9．设为锐角，且，则10．若，且，求证：4
