运用柯西不等式证明不等式

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1、运用柯西不等式证明不等式【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。【关键词】柯西(Cauchy)不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学【Abstract】Cauchy-inequalityanalyzedbyprovingandextending,appliedbyprovinganinequationandfindingasolutiontoanequationorthemaximumvalue&minimumvalueoffunction.ThenCauchy-inequality

2、^somequestionsappearedinmath-teachingofmiddleschoolwillbediscussed・[Keywords】Cauchy-inequality,themaximum&minimumvalue,inequation-teaching,funcoftriangle'sproving引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式Z—，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式

3、、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此,木文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方而进行总结和归纳，并谈谈它在屮学数学中的一些应用，1柯西不等式的证明⑴⑵对柯西不等式木身的证明涉及冇关不等式的一些基木方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式冇很大帮助。木文所说的柯西不等式是指(n、2工必

4、一个不为零时，可知A>0Z=1z=li=l展开得构造二次函数f(x)=Ax2+2Bx2+C于(兀)=工(。；兀2+2aQ匚x+b：)=工(ax+b丁A0故/(x)的判别式4=4庆一4ACW0i=li=l移项得AC>B得证。1.2向量法证明B=(/?j,/?2,•••,/?„).则对向量a.p有aj=cos—#a^-a}b}+a2b2+…+anbn2i=l•'/=!i=l丿iT.当且仅当COS（5,y0）=即忆P平行时等号成立。证明:收敛，05i=l/=!(n、2(n(n\/=!)

5、用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数5,勺,…；勺,筠,仇有柯西—拉格朗日恒等式(q「+6^+…+匕：)(勺2+矿+•••+$：)_(%/?]+a2h2+•••+anhn)2=(恥2-讷)2+C為-也)2+…+G肉一anb})2+(°2%-。3“2)2+…+(。2仇-602)2+…+(舛―心-讣"由实数性质6z2>o(tze/?)可得柯西不等式成立。以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重婆性。它的对称和谐的结构、广泛的应川、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。2

6、柯西不等式的推广2.1命题1n„（n2若级数与£勺2收敛，则有不等式工％Y收敛,从而有不等式aibik<=1这汽吠成立。1=11=1fnnn且lim工4勺Slim工a；lim工勺则对定义在肚方］上2.2命题2⑶若级数工/与工呼收敛，且对Vhg2V有/=11=1/=

7、1=1/=

8、>证明：因为函数/(x),g(x)在区间［a,b］上连续，所以函数/(x)与g(x)、/2(x)>g2(x)在(/(兀0兀=Um(&加,fg(x)dx=lim•h;/->oo4/〃T8/=!［d,b］上可积，将［a,b］区间n等分，取每个小区间的左端点为£•,山定积分的定义得：/=1(f2(兀肚=lim^

9、/2(§JAx,『g2(x)dx=lim亍g$(§)心•b“T84/n->ooj=1/=]令df=严(爲,勺2=&2(5),则£匕?与£勺2收敛’由柯西不等式得/=!i=l(n(n(n心51工严G)心工/=!7r=i、2g221从而有不等式lim£/G)g(&)心Wlim£/《)心]血乞f)―>t—Ilit―J'2.3赫尔德不等式⑷设勺>(),勺>(),(i=l,2,・・・,/i),〃>(),q〉()，满足丄+丄=1,贝U:pq11n(n/n£q,等号成立的充